¿Cuál es la motivación detrás de las matrices de densidad? Y, ¿cuál es la diferencia entre las matrices de densidad de estados puros y las matrices de densidad de estados mixtos?

^{Esta es una secuela auto respondida de ¿Cuál es la diferencia entre un estado cuántico puro y mixto? & ¿Cómo encontrar una matriz de densidad de un qubit? Eres bienvenido a escribir respuestas alternativas.}

Motivación

La motivación detrás de las matrices de densidad es representar una falta de conocimiento sobre el estado de un sistema cuántico dado, encapsulando en una sola descripción de este sistema todos los resultados posibles de los resultados de medición, dado lo que sabemos sobre el sistema. La representación de matriz de densidad tiene la ventaja adicional de deshacerse de cualquier problema asociado con las fases globales porque

$$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$$ La falta de conocimiento puede surgir de varias maneras:

• Una falta subjetiva de conocimiento: un árbitro prepara para usted uno de un conjunto de estados $\{|\phi_i\rangle\}$ con probabilidad $p_i$ , pero no sé qué. Incluso si saben cuál $|\phi_j\rangle$ aun prepararse, ya que no lo hace, usted tiene que describirlo basa en lo que sabe del posible conjunto de estados y sus correspondientes probabilidades, $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$.

• Una falta objetiva de conocimiento: si el sistema cuántico es parte de un estado entrelazado más grande, es imposible describir el sistema como un estado puro, pero todos los resultados posibles de las mediciones se describen mediante la matriz de densidad obtenida por $\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$ .

Sin embargo, es interesante que la falta objetiva de conocimiento puede volverse subjetiva: una segunda parte puede realizar operaciones en el resto del estado enredado. Pueden conocer los resultados de la medición, etc., pero si no los transmiten, la persona que posee el sistema cuántico original no tiene ningún conocimiento nuevo, por lo que describe su sistema utilizando la misma matriz de densidad que antes, pero ahora es una descripción subjetiva. .

También es importante tener en cuenta que elegir una forma particular de representar la matriz de densidad, por ejemplo, $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$, es una elección muy subjetiva. Puede estar motivado por un procedimiento de preparación particular, pero matemáticamente, cualquier descripción que dé la misma matriz es equivalente. Por ejemplo, en un solo qubit, $\rho=\frac12\mathbb{I}$se conoce como el estado máximo mixto. Debido a la relación de completitud de una base, esto se puede representar como una mezcla 50:50 o dos estados ortogonales utilizandocualquierbase de 1 qubit.

$$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$$

Estados puros y mixtos

La diferencia entre la matriz de densidad de un estado puro y un estado mixto es directa: el estado puro es un caso especial que se puede escribir en la forma $\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$, mientras que un estado mixto no se puede escribir de esta forma. Matemáticamente, esto significa que la matriz de densidad de un estado puro tiene rango 1, mientras que un estado mixto tiene rango mayor que 1. La mejor manera de calcular esto es a través de $\text{Tr}(\rho^2)$ : $\text{Tr}(\rho^2)=1$ implica un puro estado, de lo contrario es mixto. Para ver esto, recuerde que , lo que significa que todos los valores propios suman 1. Además, ρ es positivo semi-definido, por lo que todos los valores propios son reales y no negativos. Entonces, si ρ es rango 1, los valores propios son ( 1 , 0 , 0 , ... , 0 ) , y su cuadrado de suma es claramente 1. El cuadrado de cualquier otro conjunto de números no negativos que sumen 1 debe ser menor que 1.$\text{Tr}(\rho)=1$$\rho$$\rho$$(1,0,0,\ldots ,0)$

El estado puro corresponde al conocimiento perfecto del sistema, aunque lo divertido de la mecánica cuántica es que esto no implica un conocimiento completo de los posibles resultados de la medición. Los estados mixtos representan algún conocimiento imperfecto, ya sea el conocimiento de la preparación o el conocimiento de un espacio de Hilbert más grande.

Se puede ver que la descripción del estado mixto es mucho más rica en la imagen de la esfera de Bloch en un solo qubit: los estados puros son todos aquellos en la superficie de la esfera, mientras que los estados mixtos son todos los contenidos en el volumen. En términos de conteo de parámetros, en lugar de dos parámetros, necesita tres, el extra correspondiente a la longitud del vector Bloch. donden_es un vector unitario de 3 elementos,σ_es un vector de las matrices de Pauli, yr=1para un estado puro, y0≤r<1para un estado mixto.

$$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$$ $\underline{n}$$\underline{\sigma}$$r=1$$0\leq r<1$

La motivación detrás de las matrices de densidad ^[1] :

En mecánica cuántica, el estado de un sistema cuántico está representado por un vector de estado, denotado (y pronunciada ket ). Un sistema cuántico con un vector de estado | Psi ⟩ se llama un estado puro . Sin embargo, también es posible que un sistema esté en un conjunto estadístico de diferentes vectores de estado. Por ejemplo, puede haber una probabilidad del 50 % de que el vector de estado sea | ψ 1 ⟩ y un 50 % la posibilidad de que el vector de estado es | ψ 2 ⟩ . Este sistema estaría en$|\psi\rangle$$|\psi\rangle$$50\%$$|\psi_1\rangle$$50\%$$|\psi_2\rangle$ estado mixto. La matriz de densidad es especialmente útil para estados mixtos, porque cualquier estado, puro o mixto, puede caracterizarse por una matriz de densidad única. Un estado mixto es diferente de una superposición cuántica. Las probabilidades en un estado mixto son probabilidades clásicas (como en las probabilidades que uno aprende en la teoría / estadística de probabilidad clásica), a diferencia de las probabilidades cuánticas en una superposición cuántica. De hecho, una superposición cuántica de estados puros es otro estado puro, por ejemplo, . En este caso, los coeficientes$\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ no son probabilidades, sino amplitudes de probabilidad.$\frac{1}{\sqrt {2}}$

Ejemplo: polarización de luz

An example of pure and mixed states is light polarization. Photons can have two helicities, corresponding to two orthogonal quantum states, $|R\rangle$ (right circular polarization) and $|L\rangle$ (left circular polarization). A photon can also be in a superposition state, such as $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$(vertical polarization) or $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$(horizontal polarization). More generally, it can be in any state $\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$ (with $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$) corresponding to linear, circular or elliptical polarization. If we pass $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ polarized light through a circular polarizer which allows either only $|R\rangle$ polarized light, or only $|L\rangle$ polarized light, the intensity would be reduced by half in both cases. This may make it seem like half of the photons are in state $|R\rangle$ and the other in state $|L\rangle$. But this is not correct: Both $|R\rangle$ and $|L\rangle$ are partly absorbed by a vertical linear polarizer, but the $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ light will pass through that polarizer with no absorption whatsoever.

However, unpolarized light such as the light from an incandescent light bulb is different from any state like $\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$ (linear, circular or elliptical polarization). Unlike linearly or elliptically polarized light, it passes through the polarizer with $50\%$ intensity loss whatever the orientation of the polarizer; and unlike circularly polarized light, it cannot be made linearly polarized with any wave plate because randomly oriented polarization will emerge from a wave plate with random orientation. Indeed, unpolarized light cannot be described as any state of the form $\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$ in a definite sense. However, unpolarized light can be described with ensemble averages, e.g. that each photon is either $|R\rangle$ with $50\%$ probability or $|L\rangle$ with $50\%$ probability. The same behaviour would occur if each photon was either vertically polarized with $50\%$ probability or horizontally polarized with $50\%$ probability.

Therefore, unpolarized light cannot be described by any pure state but can be described as a statistical ensemble of pure states in at least two ways (the ensemble of half left and half right circularly polarized, or the ensemble of half vertically and half horizontally linearly polarized). These two ensembles are completely indistinguishable experimentally, and therefore they are considered the same mixed state. One of the advantages of the density matrix is that there is just one density matrix for each mixed state, whereas there are many statistical ensembles of pure states for each mixed state. Nevertheless, the density matrix contains all the information necessary to calculate any measurable property of the mixed state.

Where do mixed states come from? To answer that, consider how to generate unpolarized light. One way is to use a system in thermal equilibrium, a statistical mixture of enormous numbers of microstates, each with a certain probability (the Boltzmann factor), switching rapidly from one to the next due to thermal fluctuations. Thermal randomness explains why an incandescent light bulb, for example, emits unpolarized light. A second way to generate unpolarized light is to introduce uncertainty in the preparation of the system, for example, passing it through a birefringent crystal with a rough surface, so that slightly different parts of the beam acquire different polarizations. A third way to generate unpolarized light uses an EPR setup: A radioactive decay can emit two photons travelling in opposite directions, in the quantum state $\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$. The two photons together are in a pure state, but if you only look at one of the photons and ignore the other, the photon behaves just like unpolarized light.

More generally, mixed states commonly arise from a statistical mixture of the starting state (such as in thermal equilibrium), from uncertainty in the preparation procedure (such as slightly different paths that a photon can travel), or from looking at a subsystem entangled with something else.

Obtaining the density matrix^[2]:

As mentioned before, a system can be in a statistical ensemble of different state vectors. Say there is $p_1$ probability that the state vector is $|\psi_1\rangle$ and $p_2$ probability that the state vector is $|\psi_2\rangle$ are the corresponding classical probabilities of each state being prepared.

Say, now we want to find the expectation value of an operator $\hat{O}$. It is given as:

$$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$$

Note that $\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$ and $p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$ are scalars, and trace of scalars are scalars too. Thus, we can write the above expression as:

$$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$$

Now, using the cyclic invariance and linearity properties of the trace:

$$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$$

$$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$$

where $\rho$ is what we call the density matrix. The density operator contains all the information needed to calculate an expectation value for the experiment.

Thus, basically the density matrix $\rho$ is

$$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$$ in this case.

You can obviously extrapolate this logic for when more than just two state vectors are possible for a system, with different probabilities.

Calculating the density matrix:

Let's take an example, as follows.

In the above image, the incandescent light bulb $1$ emits completely random polarized photons $2$ with mixed state density matrix.

As mentioned before, an unpolarized light can be explained with an ensemble average i.e. say each photon is either $|R\rangle$ or $|L\rangle$ with $50%$ probability for each. Another possible ensemble average is: each photon is either $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ or $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ with $50\%$ probability for each. There are lots of other possibilities too. Try to come up with some yourself. The point to note is that the density matrix for all these possible ensembles will be exactly the same. And this is exactly the reason why density matrix decomposition into pure states is not unique. Let's check:

Case 1: $50\%$ $|R\rangle$ & $50\%$ $|L\rangle$

$$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$$

Now, in the basis $\{|R\rangle, |L\rangle\}$, $|R\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $|L\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$

Case 2: $50\%$ $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ & $50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

$$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$$

In the basis $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$, $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$ Thus, we can clearly see that we get the same density matrices in both case 1 and case 2.

However, after passing through the vertical plane polarizer (3), the remaining photons are all vertically polarized (4) and have pure state density matrix:

$$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$$

In the basis $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$, $|R\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $|L\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

The single qubit case:

If your system contains just a single qubit and you're know that its state $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ (where $|\alpha|^2+|\beta|^2$) then you are already sure that the 1-qubit system has the state $|\psi\rangle$ with probability $1$!

In this case, the density matrix will simply be:

$$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$$

If you're using the orthonormal basis $\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$,

the density matrix will simply be:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

This is very similar to 'case 2' above, so I didn't show the calculations. You can ask questions in the comments if this portion seems unclear.

However, you could also use the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis as @DaftWullie did in their answer.

In the general case for a 1-qubit state, the density matrix, in the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis would be:

$$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$$

$$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$$

Notice that this matrix $\rho$ is idempotent i.e. $\rho = \rho^2$. This is an important property of the density matrices of a pure state and helps us to distinguish them from density matrices of mixed states.

Obligatory exercises:

1. Show that density matrices of pure states can be diagonalized to the form $\text{diag}(1,0,0,...)$.
2. Prove that density matrices of pure states are idempotent.

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Sources & References:

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[2]: https://physics.stackexchange.com/a/158290

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