Los estados cuánticos son vectores unitarios ... ¿con respecto a qué norma?

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La definición más general de un estado cuántico que encontré es (reformulando la definición de Wikipedia )

Los estados cuánticos están representados por un rayo en un espacio de Hilbert de dimensión finita o infinita sobre los números complejos.

Además, sabemos que para tener una representación útil necesitamos asegurarnos de que el vector que representa el estado cuántico es un vector unitario .

Pero en la definición anterior, no precisan la norma (o el producto escalar) asociado con el espacio de Hilbert considerado. A primera vista, pensé que la norma no era realmente importante, pero ayer me di cuenta de que la norma fue elegida en todas partes para ser la norma euclidiana (norma 2). Incluso la notación de corchetes parece estar hecha específicamente para la norma euclidiana.

Mi pregunta: ¿Por qué la norma euclidiana se usa en todas partes? ¿Por qué no usar otra norma? ¿La norma euclidiana tiene propiedades útiles que pueden usarse en la mecánica cuántica que otros no tienen?

quantum-state notation unitarity mathematics Nelimee
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2

En realidad, solo quería agregar un comentario, pero no tengo la reputación de hacerlo: tenga en cuenta que, mientras escribe en su pregunta, los estados cuánticos son rayos en el espacio de Hilbert. Esto significa que no están normalizados, sino que todos los vectores en el espacio de Hilbert que apuntan en la misma dirección son equivalentes. Es más conveniente trabajar con estados normalizados, pero la física está realmente oculta en la superposición de los estados entre sí. Es por esta razón que no existe una norma presente en la definición de un estado.

Omri Har-Shemesh

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La regla de Born dice que que es la probabilidad de encontrar el sistema cuántico en el estado después de una medición. Necesitamos que la suma (¡o integral!) Sobre todo sea 1: $|\psi(x)|^2 = P(x)$ $|x\rangle$ $x$

\begin{aligned} \sum_{x} P_{x} & = \sum_{x} | ψ_{x} |^{2} = 1, \\ \int P (x) d x & = \int | ψ (x) |^{2} d x = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$

Ninguna de estas son normas válidas porque no son homogéneas . Puede hacerlos homogéneos simplemente haciendo la raíz cuadrada:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} | ψ_{x} |^{2}} = 1, \\ \sqrt{\int | ψ (x) |^{2} d x} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$

y puede reconocer esto como la norma euclidiana y una generalización de la norma euclidiana a un dominio no discreto. También podríamos usar una norma diferente:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} ψ_{x} A ψ_{x}^{*}} = 1, \\ \sqrt{\int ψ (x) A ψ^{*} (x)} = 1, \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$

para alguna matriz / función definida positiva A.

Sin embargo, una -norm con no sería tan útil porque, por ejemplo: $p$ $p>2$

\begin{aligned} \sqrt[5]{\sum_{x} | ψ_{x} |^{5}} \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$

no tiene que ser 1.

De esta manera, la norma euclidiana es especial porque 2 es el poder en la regla de Born, que es uno de los postulados de la mecánica cuántica.

usuario1271772
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p

$p$

2

Es la única norma p que tiene sentido. Queremos que la suma de las probabilidades sea 1 (que es una ley de las matemáticas) y las probabilidades están definidas por el cuadrado de la función de onda (que es un postulado de la mecánica cuántica llamada regla de Born).

user1271772

@Nelimee: Gracias por tu mensaje en el chat. No puedo responder porque me han prohibido el chat durante 2 días más. La razón de la primera respuesta fue porque leí sus preguntas "¿Por qué la norma euclidiana se usa en todas partes? ¿Por qué no usar otra norma?" e inmediatamente consideró un caso en el que una norma válida no es la norma euclidiana sino una norma 2 diferente, que es una norma 2 en un conjunto no discreto de variables. Pensé que esto era suficiente para explicar que la norma euclidiana no es la única norma válida y por qué la norma euclidiana se usa cuando lo es. Pero cuando me di cuenta de que Daftwullie recibió el voto a favor y no lo hice

usé el usuario 1271772 el

2

¿Entonces su respuesta es "debido a la regla de Born"? ¿Eso no mueve la pregunta a "por qué la regla de Born usa el poder de 2?"

DaftWullie

1

Parece un "¿qué vino primero, la gallina o el huevo?" caso.

user1271772

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Alguna terminología parece un poco confusa aquí. Los estados cuánticos están representados (dentro de un espacio de Hilbert de dimensión finita) por vectores complejos de longitud 1, donde la longitud se mide por la norma euclidiana. No son unitarios, porque unitario es una clasificación de una matriz, no un vector.

Los estados cuánticos cambian / evolucionan de acuerdo con alguna matriz. Dado que los estados cuánticos tienen longitud 1, resulta necesario y suficiente que los mapas de estados puros a estados puros sean descritos por matrices unitarias. Estas son las únicas matrices que preservan la norma (euclidiana).

$p$ $p\neq 2$

$p$ $p=2$ $p=1$ $p\rightarrow\infty$ $\pi/2$

Si desea más detalles, puede consultar aquí .

DaftWullie
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Gracias por la terminología precisiones! Tienes razón, hice mal uso de los términos.

Nelimee

Sin embargo, la pregunta está bien siempre que reemplace "unitario" por "vector de unidad"

usuario1271772 del

Pero esta respuesta no responde por qué usamos la norma euclidiana. Comprendí que las otras normas no son convenientes, pero realmente no tenemos el control de lo que es "conveniente" dentro de las leyes de física y qué no lo es, ¿verdad?

Nelimee

@Nelimee No es inconveniente. Es que muchas operaciones no existen si no usa la norma 2. Operaciones como la raíz cuadrada de not, que podemos salir, hacer un experimento y observar. Eso excluye todo excepto la norma 2

DaftWullie

1

como con toda la física! Todas las teorías son eso, teorías que mejor se ajustan a los datos disponibles.

DaftWullie

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$\mathbb{R}^n$ $L^p$ $p=2$

Federico Poloni
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He votado tu respuesta (que es una excelente primera respuesta al QCSE), pero ¿tiene que ser una norma 2? Usted dice que la norma 1 y la norma 3 no son válidas, pero ¿qué pasa con la norma en mi respuesta, que es el cuadrado de la norma 2?

user1271772

3

@ user1271772 ¡Gracias! Si entiendo correctamente, la función que sugieres ni siquiera es una norma vectorial porque no es homogénea.

Federico Poloni

2

L^{2}

$L^2$

L^{p}

$L^p$

A

$A$

‖ x ‖_{A} := \sqrt{x^{*} A x}

$\|x\|_A:=\sqrt{x^*Ax}$

k = 2

$k=2$

k = 1

$k=1$

k = 1

$k=1$

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$\vec v = (v_1,\dots,v_N)$ $\vec v\to L\vec v$

Resulta que básicamente hay solo tres opciones:

$(0,1,0,0,0)$ $L$
$1$ $v_i$
$2$ $v_i$

Estas son las únicas posibilidades. Para otras normas no existen transformaciones interesantes.

Si desea una explicación más detallada y agradable de esto, "Quantum Computing since Democritus" de Scott Aaronson tiene una conferencia sobre esto , así como un documento .

Norbert Schuch
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2

$p=2$ $L^p$

$M_{ij}$ $\sum x_i^* M_{ij} y_j$ $M$ $M_{ii} \mid x_i \mid^2$ $\mid x_i \mid^2$ $M_{ii}>0$ $\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$ $L^2$ $n$ $M_{ii}$

$L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$ $w(x)$ $x \to x+a$ $w(x)$ $w(x)$ $w(x) \neq 1$

En algunos casos es útil no pasar a la forma estándar. Se baraja cómo hacer algunos cálculos. Por ejemplo, si está haciendo algunos números, puede reducir sus errores mediante este tipo de reorganización para evitar números realmente pequeños o grandes que su máquina encuentra difíciles.

$\sqrt{M_{ii}}$

AHusain
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-1

$n$

$\psi_i(x)$

\int ψ_{i} (x) ψ_{j}^{*} (x) d x .

$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$

$i=j$

\int | ψ (x) |^{2} d x = \int P (x) d x = 1,

$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$

$i\ne j$

$n$ $n$ $x$ $n$

$\int P(x)dx=1$ $x$ $P(x)$ de probabilidad Si tuviera alguna otra norma que pueda garantizar que se cumplan todas las leyes de la teoría de la probabilidad, también podría usar esa norma.

usuario1271772
fuente

@Nelimee: No puedo responder a su mensaje de chat "No obtuve el punto de su respuesta con 0 votos" porque me han prohibido el chat por 2 días más, pero ¿qué parte de esta respuesta no recibe?

usuario1271772

@Nelimee? Ahora estoy en -1, así que agradecería saber qué parte no estaba clara

usuario1271772

Lo que escribes es solo la norma euclidiana en dimensiones infinitas. Su afirmación "La norma euclidiana en un espacio n-dimensional, como se define aquí, no es la única norma utilizada para los estados cuánticos". es engañoso hasta el punto de estar equivocado.

Norbert Schuch

@Norbert. (1) esta es la CUADRADA de la norma euclidiana. (2) aquí es INCONTABLE infinito. Ya no es n-dimensional incluso para n infinitamente contable.

user1271772

1

$1$

1

$1$

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb R^n)$

Los estados cuánticos son vectores unitarios ... ¿con respecto a qué norma?

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