¿Cuál es la diferencia entre superposiciones y estados mixtos?

Mi comprensión hasta ahora es: un estado puro es un estado básico de un sistema, y ​​un estado mixto representa incertidumbre sobre el sistema, es decir, el sistema está en uno de un conjunto de estados con alguna probabilidad (clásica). Sin embargo, las superposiciones también parecen ser una especie de mezcla de estados, entonces, ¿cómo encajan en esta imagen?

Por ejemplo, considere un lanzamiento de moneda justo. Puede representarlo como un estado mixto de "cabezas" $\left|0\right>$ y “colas” $\left|1\right>$ :

$$\rho_1 = \sum_j \frac{1}{2} \left|\psi_j\right> \left<\psi_j\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Sin embargo, también podemos usar la superposición de "cabezas" y "colas": estado específico $\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left|0\right> + \left|1\right> \right)$con la densidad de

$$\rho_2 = \left|\psi\right> \left<\psi\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Si medimos en la base computacional, obtendremos el mismo resultado. ¿Cuál es la diferencia entre un estado superpuesto y uno mixto?

No , una superposición de dos estados diferentes es una bestia completamente diferente a una mezcla de los mismos estados. Si bien puede parecer a partir de su ejemplo que y ρ 2 producen los mismos resultados de medición (y ese es el caso), tan pronto como mida de manera diferente, obtendrán resultados mensurablemente diferentes .$\rho_1$$\rho_2$

Una "superposición" como es unestado puro. Esto significa que es un estado completamente caracterizado. En otras palabras, no hay cantidad de información que, agregada a su descripción, pueda hacerla "menos indeterminada". Tenga en cuenta quecada estado purose puede escribir como superposición de otros estados puros. Escribir un estado dado | Psi ⟩ como una superposición de otros estados es, literalmente, lo mismo que escribir un vector v en términos de alguna forma: siempre se puede cambiar la base y encontrar una representación diferente de v .$\newcommand{\up}{|\!\!\uparrow\rangle}\newcommand{\down}{|\!\!\downarrow\rangle}|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(\up+\down)$$|\psi\rangle$$\boldsymbol v$$\boldsymbol v$

Esto está en contraste directo con un estado mixto como en su pregunta. En el caso de ρ 1 , la naturaleza probabilística de los resultados depende de nuestra ignorancia sobre el estado mismo . Esto significa que, en principio, es posible adquirir información adicional que nos dirá si ρ 2 está realmente en el estado $\rho_1$$\rho_1$$\rho_2$ o en el estado$\up$ .$\down$

Un estado mixto no puede, en general, escribirse como un estado puro. Esto debería quedar claro a partir de la intuición física anterior: los estados mixtos representan nuestra ignorancia acerca de un estado físico, mientras que los estados puros son estados completamente definidos, que todavía dan resultados probabilísticos debido a la forma en que funciona la mecánica cuántica.

De hecho, existe un criterio simple para determinar si un estado (generalmente mixto) puede escribirse como | Psi ⟩ ⟨ Psi | para algún estado (puro) | Psi ⟩ : calcular su pureza . La pureza de un estado ρ se define como $\rho$$|\psi\rangle\langle\psi|$$|\psi\rangle$$\rho$ , y es un resultado estándar que la pureza de estado es 1 si y solo siel estado es puro (y menor que 1 de lo contrario).$\operatorname{Tr} \,(\rho^2)$$1$ $1$

La respuesta corta es que hay más información cuántica que "incertidumbre". Esto se debe a que hay más de una forma de medir un estado; y eso se debe a que hay más de una base en la que, en principio, puede almacenar y recuperar información. Las superposiciones le permiten expresar información de manera diferente a la base computacional, pero las mezclas describen la presencia de un elemento probabilístico, sin importar qué base use para observar el estado.

La respuesta más larga es la siguiente:

La medición como la ha descrito es específicamente medición en la base computacional. Esto a menudo se describe como "medición" en aras de la brevedad, y grandes subconjuntos de la comunidad piensan que esta es la forma principal de medir las cosas. Pero en muchos sistemas físicos, es posible elegir una base de medición .

Un espacio vectorial sobre tiene más de una base (incluso más de una base ortonormal), y a nivel matemático no hay mucho que haga que una base sea más especial que otra, aparte de lo que es conveniente para el matemático. Lo mismo es cierto en la mecánica cuántica: a menos que especifique alguna dinámica específica, no hay una base que sea más especial que las demás. Eso significa que la base computacional | 0 ⟩ = $\mathbb C$ no es fundamentalmente diferente físicamente de otra forma, tales como | + ⟩ =

$$\lvert 0 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \lvert 1 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ que también es una base ortonormal. Eso significa que debería haber una manera de "medir" un estado| Psi⟩∈C2de tal manera que las probabilidades de los resultados dependen de proyecciones sobre estos estados| +⟩Y $$\lvert + \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \lvert - \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix},$$ $\lvert \psi \rangle \in \mathbb C^2$$\lvert + \rangle$ .$\lvert - \rangle$

$$\Pi_+ = \lvert + \rangle\!\langle + \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \Pi_- = \lvert - \rangle\!\langle - \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$ $\lvert \varphi_+ \rangle := \Pi_+ \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle := \Pi_- \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\lvert \varphi_+ \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\Pi_+$$\Pi_-$

$\rho$$\rho_+ := \Pi_+ \rho \Pi_+$$\rho_- := \Pi_- \rho \Pi_-$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\rho_\pm$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$de la medida; para renormalizar, simplemente escale el operador proyectado para que tenga la traza 1.

$\rho_2$$\lvert \pm \rangle$$\rho_2 = \rho_{2,+} := \Pi_+ \rho_2 \Pi_+$$\Pi_+$$\lvert + \rangle$$\rho_1$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\rho_1$$\rho_2$$\rho_2$$\rho_2$

En términos más generales, un estado mixto es aquel cuyo valor propio más grande es menor que 1, lo que significa que no hay una base para medirlo para obtener un resultado definitivo. Las superposiciones le permiten expresar información de manera diferente a la base computacional; Las mezclas representan un grado de aleatoriedad sobre el estado del sistema que está considerando, independientemente de cómo mida ese sistema.

Junto con la publicación de glS:

Un estado mixto sería si tuviera una lata de pintura, pero no estaba seguro de si era azul o amarillo. Sabes que es uno de los dos, y una vez que levantas la parte superior y lo mides, lo sabrías, pero hasta que lo hagas, está en uno de esos dos estados puros. Si lo recogiste de una pila de latas donde sabías que había tantas latas de pintura azul como amarillas, esperarías la misma probabilidad de que sea una u otra. El 50% del tiempo sería 100% amarillo y el 50% del tiempo sería 100% azul.

Una superposición es más como si tomas media lata de azul y media lata de amarillo y las viertes juntas. Ahora ha construido un nuevo estado puro que se puede expresar como una combinación de otros estados puros. Si prueba su "azul", es aproximadamente el 50%. Si prueba su 'amarillez' es aproximadamente el 50%. Es amarillo y azul al mismo tiempo. El 100% del tiempo es 50% azul y 50% amarillo.

Si midió la cantidad de azul y amarillo en una pila de latas azules o amarillas y luego en otra pila de verde, podría confundirse al ver que tiene la misma cantidad de azul y amarillo en ambas pilas, pero la diferencia es que el " azul 'y' amarillo 'está en un estado mixto en la pila posterior, pero está en una superposición en la última.