Alternativa a la esfera Bloch para representar un solo qubit

Para representar el qubit único $|\psi\rangle$ utilizamos un vector unitario en un espacio de Hilbert cuya (uno de los) de base ortonormal es .$\mathbb{C}^2$$(|0\rangle, |1\rangle)$

Podemos dibujar$|\psi\rangle$ usando unbalón Bloch. Sin embargo, encontré esta notación bastante confusa, porque los vectores ortogonales son espacialmente antiparalelos (breve explicación en esta pregunta de intercambio de pila de física).

¿Conoces alguna representación gráfica diferente para un solo qubit?

En el enlace incluido en su pregunta, sobre otra pregunta escrita por el usuario 098876, "Comprender la esfera Bloch", Daniel hace un comentario útil:

"Dibujar puntos en la esfera para representar el estado de un sistema cuántico de dos niveles no significa que deba pensar en esos puntos como vectores reales en el espacio 3D. - DanielSank 3 de septiembre de 2015 a las 20:17".

Explicación demasiado simplificada: es un plano de dos lados (o dos planos) proyectado en una esfera.

"Encontré esta notación bastante confusa, porque los vectores ortogonales son espacialmente antiparalelos ( breve explicación en esta pregunta de intercambio de pila de física ). ¿Conoces alguna representación gráfica diferente para un solo qubit?"

Hay una serie de esfuerzos en curso para proporcionar una representación más general que se extienda de qubits a qudits. Esta explicación y representación usando una esfera Majorana no es tan diferente , sigue siendo una esfera, pero quizás sea menos confusa:

Para ver qubits en una esfera Majorana ver: "Estados N-qubit como puntos en la esfera Bloch ".

"Resumen. Mostramos cómo la representación de Majorana se puede usar para expresar los estados puros de un sistema N-qubit ... En conclusión, la representación de Majorana es útil cuando se estudian las partículas de spin- $S$ , mientras que la representación alternativa es preferible cuando el se discuten los estados de un sistema de $N$ bits. Además de ayudar a visualizar los estados de $N$ bits y la forma en que se transforman en rotaciones y otras operaciones, la última representación también puede ayudar a identificar algunos estados especiales de $N$ bits, como lo hizo la representación de Majorana en el contexto de los condensados ​​de spinor Bose-Einstein ".

Ver: " Representación de Majorana, espacio qutrit Hilbert e implementación de RMN de puertas qutrit ":

Página 1:

"La esfera de Bloch proporciona una representación de los estados cuánticos de un solo qubit en (una esfera unitaria en tres dimensiones reales), con estados puros mapeados en la superficie y los estados mixtos en el interior. Esta representación geométrica es útil en proporcionando una visualización de los estados cuánticos y sus transformaciones, particularmente en el caso de la computación cuántica basada en RMN, donde el spin- 1$\mathcal S^2$$\frac{1}{2}$ magnetización y su transformación a través de pulsos de RMN rf se visualiza en la esfera de Bloch. Ha habido varias propuestas para la representación geométrica de sistemas cuánticos de nivel superior, sin embargo, las extensiones de una imagen en forma de esfera de Bloch a giros más altos no son sencillas. Majorana propuso una representación geométrica en la cual, el estado puro de un spin '' está representado porpuntos'2s' en la superficie de una esfera unitaria, llamada esfera Majorana.$s$$_s$

La representación de Majorana para sistemas de espines ha encontrado aplicaciones muy extendidas, como la determinación de la fase geométrica de los espines, la representación de N espines por N puntos, la representación geométrica de estados entrelazados de múltiples qubits, estadísticas de sistemas dinámicos cuánticos caóticos y caracterización de la luz polarizada. Un qutrit único (sistema cuántico de tres niveles) es de particular importancia en los esquemas de computación cuántica basados ​​en qudit ( sistema cuántico de nivel d ). Un qutrit es el sistema más pequeño que exhibe características cuánticas inherentes como la contextualidad, que se ha conjeturado como un recurso para la computación cuántica . La computación cuántica de RMN qudit se puede realizar utilizando núcleos con spin s> 1$s$$N$$N$$d$$\frac{1}{2}$ o puede ser modelado por dos o más spin-1acoplados$\frac{1}{2}$ núcleos En este trabajo utilizamos la descripción de la esfera Majorana de un solo qutrit, donde los estados de un qutrit están representados por un par de puntos en una esfera unitaria, para proporcionar información sobre el espacio de estado de qutrit.

Página 5:

La magnitud del vector de magnetización → M | en un conjunto puro de un solo qutrit puede asumir valores en el rango [ 0 , 1 ] . Por el contrario, el conjunto puro de un qubit siempre posee una unidad de magnitud del vector de magnetización asociado con él$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$ . La representación geométrica del vector de magnetización de qutrit único es proporcionada por la representación de Majorana. El valor → M | depende de la longitud de la bisectriz O O ' y se encuentra a lo largo de la $\vert-$$\vec{M}$$\vert$$OO'$$z$-eje y es rotacionalmente invariante. Por lo tanto, correspondiente a un valor dado de la longitud de la bisectriz, uno puede asumir esferas concéntricas con radios continuamente variables, cuyas superficies son las superficies de magnetización constante. Los radios de estas esferas son iguales a → M | , que varían en el rango [ 0 , 1 ] .$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$

Page 10:

OBSERVACIONES FINALES

En este trabajo se describe una representación geométrica de un qutrit, en la que los estados de qutrit están representados por dos puntos en una esfera unitaria según la representación de Majorana. Se obtuvo una parametrización de estados de qutrit único para generar estados arbitrarios a partir de una familia de estados canónicos de un parámetro a través de la acción de las transformaciones . El vector de magnetización spin- 1 se representó en la esfera Majorana y los estados se identificaron como 'apuntando' o 'no apuntando' dependiendo del valor cero o no cero de la magnetización giratoria. Las transformaciones generadas por la acción de S U ( 3 $SO(3)$$1$$SU(3)$Los generadores también se integraron en la imagen geométrica de Majorana. A diferencia de los qubits, la descomposición de las puertas cuánticas de un solo qutrit en términos de pulsos de radiofrecuencia no es sencilla y la representación de la esfera Majorana proporciona una forma de describir geométricamente estas puertas. Se utilizaron observaciones minuciosas de la dinámica de los puntos que representan un qutrit en la esfera de Majorana bajo la acción de varias compuertas cuánticas para obtener las descomposiciones de pulso rf y se implementaron experimentalmente compuertas de qutrit básicas básicas mediante RMN.

HIGO. 1. Un qutrit en la esfera Majorana está representado por dos puntos y P 2 , conectados con el centro de la esfera por líneas que se muestran en rojo y azul, respectivamente. θ 1 , ϕ 1 son los ángulos polares y azimutales correspondientes al punto P 1 ( θ 2 , ϕ 2 son los ángulos para el punto P 2 ). (a) Las raíces del polinomio de Majorana se muestran en el plano z = 0 por los puntos P ′ 1 y P ′ $P_1$$P_2$$\theta_1$$\phi_1$$P_1$$\theta_2$$\phi_2$$P_2$$z = 0$$P'_1$$P'_2$, cuya proyección estereográfica da lugar a la representación de Majorana. Se muestran tres ejemplos correspondientes a la representación de Majorana de vectores básicos de un solo qutrit , ( c $(b)\;\vert+1\rangle$ y ( d $(c)\;\vert0\rangle$ . Uno de los puntos se muestra como un círculo sólido (rojo), mientras que el otro punto está representado por un círculo vacío (azul).$(d)\;\vert-1\rangle$

Ver: " Representación de Majorana de estados de giro superiores " (.PDF) por Wheeler (sitio web) o " Tomografía de Wigner de estados cuánticos con múltiples espigas ":

¿Cómo se ve el uso de la tomografía? "En este artículo, desarrollamos teóricamente un esquema de tomografía para funciones esféricas de estados cuánticos arbitrarios de múltiples pines. Estudiamos esquemas experimentales para reconstruir la representación generalizada de Wigner de un operador de densidad dado (que representa estados cuánticos puros o mixtos ) ".

Compare eso con la complejidad de la esfera de Bloch representada en: " Representación de la esfera de Bloch de fases geométricas de tres vértices ". La forma es la misma, es cómo visualizas la proyección utilizada

Aquí hay una imagen menos ocupada:

Piense en la esfera Bloch cortada por la mitad por una hoja de papel muy grande. En el borde del papel (infinito), cualquier punto en la parte superior de la hoja dibuja una línea hasta (infinito) la parte superior de la bola (la parte inferior de la bola para la parte inferior de la hoja). Los puntos más cercanos al centro del papel (estados mixtos) dibujan líneas al centro de la esfera. Eso representa la distancia hasta el infinito en una bola pequeña, un qubit / qudit es finito, por lo que el papel no es tan grande.

Ahora dibuje puntos en el papel 2D, dibuje líneas desde el papel hasta la bola, retire el papel y mire a través de la bola transparente para ver el otro punto final de la línea.

Se ofrece una explicación mucho más precisa y difícil en los enlaces anteriores.

Agregando a lo que @pyramids transmitió en su respuesta :

$\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$\alpha, \beta \in \Bbb{C}$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$$4$$(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$.

$\alpha = a + i b$$a,b\in \Bbb{R}$$\beta = c + id$$c,d\in \Bbb{R}$$|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$

$4$$2$$\alpha,\beta$$1$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

Ahora, usando las coordenadas Hopf , digamos:

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

$\theta$$0$$\pi$$\psi$$\phi+\psi$$0$$\pi$

$\theta/2$$\theta$

$\psi,\phi,\theta$

$\phi$$\alpha$$\beta$$\psi$$\alpha,\beta$$\phi$$\psi$$\alpha,\beta$$|e^{i\varphi}|=1$$\varphi$$\psi$$\alpha,\beta$ $\alpha$$e^{i\psi}$

Así terminamos con:

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ $\theta$$0$$\pi$$\phi$$0$$2\pi$

$2$$3$$2$

Matemáticamente, no es posible reducir más los grados de libertad, por lo que diría que no hay otra representación geométrica "más eficiente" de un solo qubit que la esfera Bloch.

_{Fuente: Wikipedia: Bloch_Sphere}

Históricamente, la esfera Bloch surgió para describir giros donde arriba y abajo en realidad se pueden ver como (anti) paralelos en lugar de (matemáticamente) ortogonales.

Puede naturalmente (¡y quizás más naturalmente!) Representar el estado de un qubit de una manera en que los estados ortogonales son de hecho ortogonales. Entonces, un estado puro de 1 qubit ocupa un punto en la superficie de una esfera de 4 dimensiones.

(En primer lugar, el requisito de "puntos de reputación" es estúpido; este comentario debería ser un comentario de la publicación anterior).

Un solo qubit en estado puro tiene 2 grados reales de libertad, no 3, cuando cociente tanto la magnitud como la fase (es decir, la normalización compleja). Por lo tanto, se podrían usar las superficies bidimensionales más razonables (por ejemplo, la 2-esfera o cualquier cosa topológicamente equivalente).

Encontrar una representación útil es otra historia. La esfera Bloch tiene una extensión natural a los estados mixtos (que tienen 3 grados de libertad), mientras que este no parece ser el caso de lo contrario.