Incrustar información clásica en la norma de un estado cuántico

Según una introducción al aprendizaje automático cuántico (Schuld, Sinayskiy y Petruccione, 2014) , Seth Lloyd et al. dicen en su artículo: Algoritmos cuánticos para el aprendizaje automático supervisado y sin supervisión que la información clásica puede codificarse en la norma de un estado cuántico . No estoy seguro de entender su notación.$\langle x|x \rangle = |\vec{x}|^{-1}\vec{x}$

Tomemos un ejemplo simple. Digamos que quiero almacenar esta matriz: de tamaño en el estado de un sistema cuántico de bits.$V = \{3,2,1,2,3,3,5,4\}$$2^{3}$$3$

Puedo representar el estado de un sistema de bits como:$3$

$|\psi\rangle = a_1|000\rangle + a_2|001\rangle + a_3|010\rangle + a_4|011\rangle + a_5|100\rangle + a_6|101\rangle + a_7|110\rangle + a_8|111\rangle$ (usando una base estándar) donde .$a_i\in \Bbb C \ \forall \ 1 \leq i\leq 8$

Podría representar a $V$ como un vector $\vec{V} = 3 \hat{x}_1 + 2 \hat{x}_2 +... + 4 \hat{x}_8$ donde $\{\hat{x}_1,\hat{x}_2,...,\hat{x}_8\}$ forma una base ortonormal en $\Bbb R^{8}$ , y escribe la norma euclidiana estándar para ello como $|\vec{V}|=\sqrt{3^2+2^2+...+4^2}$ .

Después de esto, estoy confundido sobre cómo obtendría los coeficientes $a_1,a_2,..,a_8$ . ¿Debo asignar $3$ a $a_1$ , $2$ a $a_2$ y así sucesivamente?

Pero, de nuevo :

Considere el vector complejo dimensional vector con componentes . Suponga que se almacenan como números de coma flotante en la memoria cuántica de acceso aleatorio. La construcción del estado cuántico qubit luego toma pasos siempre que el sub -las normas también se dan en la qRAM, en cuyo caso cualquier estado puede construirse en pasos .→ v { v i = | v i | e i ϕ i } { | v i | , ϕ i } log 2 N | v ⟩ = | → v | - 1 / 2 → v O ( log 2 N ) O ( log N $N=2^{n}$$\vec{v}$$\{v_i=|v_i|e^{i\phi_i}\}$$\{|v_i|,\phi_i\}$$\log_2 N$$|v\rangle = |\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$$\mathcal{O}(\log_2 N)$$\mathcal{O}(\log N)$

En primer lugar , no entiendo su noción de un vector complejo de dimensiones . Si cada uno de los componentes de su matriz de datos clásica tiene dos números de coma flotante, no codificar eso en un estado cuántico de bits sería equivalente a almacenar una matriz clásica de tamaño en un sistema de bits ? Sí, sé que son números complejos que tienen magnitud y dirección, y por lo tanto pueden almacenar cantidad de información clásica. Pero no mencionan en ninguna parte cómo convertirán datos clásicos (digamos en forma de$2^n$2 × 2 n n un 1 , un 2 , . . , a 2 n 2 × 2 n 2 × 2 $n$$2\times 2^{n}$$n$$a_1,a_2,..,a_{2^n}$$2\times 2^{n}$$2\times 2^{n}$matriz) en esa forma. Además, parece haber una restricción de que la fase de un número complejo solo puede variar de a . - π + $a_i$$-\pi$$+\pi$

En segundo lugar , supongamos que la matriz de datos inicial que queríamos almacenar en nuestro sistema cuántico era en realidad .$V=\{\{3,\phi_1\},\{2,\phi_2\},...,\{4,\phi_8\}\}$

Si definen como entonces en nuestro ejemplo se vería algo así como . Pero entonces estamos perdiendo toda la información sobre las fases , ¿no? Entonces, ¿cuál fue el uso de comenzar con un vector complejo (que tiene tanto una fase como una magnitud) en primer lugar, cuando de todos modos perdemos esa información al convertir a ? ¿O se supone que debemos escribir como| → v | - 1 / 2 → v | V ⟩ ( $|v\rangle$$|\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$$|V\rangle$φ$(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(|3e^{i\phi_1}||000\rangle + |2e^{i\phi_2}||001\rangle + ... + |4e^{i\phi_8}||111\rangle)$$\phi_i$| V ⟩ ( $|V\rangle$$|V\rangle$$(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(3e^{i\phi_1}|000\rangle + 2e^{i\phi_2}|001\rangle + ... + 4e^{i\phi_8}|111\rangle)$ ?

Sería realmente útil si alguien pudiera explicar dónde me estoy equivocando usando algunos ejemplos concretos sobre el almacenamiento de datos clásicos en un sistema de bits.$n$

No entiendo su noción de un vector complejo de dimensiones . Si cada uno de los componentes de su matriz de datos clásica tiene dos números de coma flotante, no codificar eso en un estado cuántico de bits sería equivalente a almacenar una matriz clásica de tamaño en un sistema de bits ?$2^n$$n$$2\times 2^{n}$$n$

Tiene toda la razón en que un conjunto clásico de de nubers se almacena en un sistema n-qubit.$2\times 2^n$

Pero tienen toda la razón en que la dimensión del vector es . Esto se debe a que el vector tiene filas, donde cada entrada tiene 2 números clásicos.$2^n$$2^n$

También puede almacenar el mismo vector en una matriz : filas se completan con las partes reales y filas con las partes imaginarias, pero este vector no evolucionaría de acuerdo con la ecuación de Schrödinger . $2\times 2^n$$2^n$$2^n$

Espero que esto ayude a resolver esta parte de la pregunta.

Pero no mencionan en ninguna parte cómo convertirán los datos clásicos (digamos en forma de una matriz ) en esa forma.$2\times 2^{n}$

Tienes razón. Así como Peter Shor nunca mencionó en ninguna parte cómo se prepararán sus qubits para factoraje.

Esto depende de los experimentadores, y depende de la implementación . Esto significa que para los qubits de RMN convertiría los datos clásicos en qubits de manera diferente a los qubits superconductores, o qubits de trampa de iones, o qubits de puntos cuánticos, etc. Por lo tanto, no culpo a Shor, ni a ninguno de los 6 autores de los 2 artículos. usted mencionó (que son todos teóricos por cierto), por no explicar cómo se prepararán los qubits.

supongamos que la matriz de datos inicial que queríamos almacenar en nuestro sistema cuántico era en realidad . Si definen como entonces en nuestro ejemplo se vería algo así como . Pero entonces estamos perdiendo toda la información sobre las fases , ¿no? Entonces, ¿cuál era el uso de comenzar con un vector complejo (que tiene tanto una fase como una magnitud) en primer lugar, cuando perdemos esa información al convertir a$V=\{\{3,\phi_1\},\{2,\phi_2\},...,\{4,\phi_8\}\}$$|v\rangle$$|\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$$|V\rangle$$(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(|3e^{i\phi_1}||000\rangle + |2e^{i\phi_2}||001\rangle + ... + |4e^{i\phi_8}||111\rangle)$$\phi_i$$|V\rangle$ ¿de todas formas?

¡Lo tenías antes en tu pregunta! "Considere el vector complejo dimensional dimensional con los componentes ". Por lo tanto, el vector es:$N=2^{n}$$\vec{v}$$\{v_i=|v_i|e^{i\phi_i}\}$

Aviso:
1) Hay entradas, no 2) NO hay una norma alrededor de las fases, por eso ha perdido toda la información sobre las fases, porque coloca símbolos de norma adicionales donde no deberían t be :)$2^n$$2 \times 2^n$

¿O se supone que debemos escribir como ?$|V\rangle$$(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(3e^{i\phi_1}|000\rangle + 2e^{i\phi_2}|001\rangle + ... + 4e^{i\phi_8}|111\rangle)$

¡Cerca! La respuesta correcta es el vector que escribí anteriormente, que se puede escribir así:

$|\vec{v}|^{-1/2}\left( e^{i \phi_1} |00 \cdots 00\rangle + e^{i \phi_2} |00 \cdots 01\rangle + \cdots + e^{i \phi_{N}} |1\cdots 1\rangle\right)$ .

Para su ejemplo específico :

El propósito de todo esto es que la suma de los cuadrados de los coeficientes sea 1, lo que en mi ecuación es cierto porque el numerador es:

¡Espero que eso lo aclare!