¿Qué sucede si dos qubits entrelazados por separado pasan a través de una puerta C-NOT?

Supongamos que transformo un estado de la siguiente manera:

1. Comienzo con el estado .$\lvert 0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert 0 \rangle$
2. Enredo los qubits primero y segundo (con una compuerta H y C-NOT).
3. Luego enredo los qubits tercero y cuarto de la misma manera.

Si trato de aplicar la puerta H y C-NOT a las palabras posteriores del segundo y tercer qubits, ¿se enredará todo el sistema? ¿Qué pasa con el primer y cuarto qubits en ese caso?

( Publicación cruzada de Physics.SE )

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>} %$

$$\left(\ket{00}+\ket{11}\right)\otimes\left(\ket{00}+\ket{11}\right)/2$$ $$(\ket{0}(\ket{0}+\ket{1})+\ket{1}(\ket{0}-\ket{1}))\otimes(\ket{00}+\ket{11})/(2\sqrt{2})$$ $$(\ket{0}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})+\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01}))+\ket{1}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})-\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01})))/(2\sqrt{2})$$ Reorganicemos esto ligeramente como Tenga en cuenta que necesitamos el estado completo de todo el sistema. Realmente no se puede hablar sobre los estados de los qubits 1 y 4 por separado debido al enredo. $$\ket{\Psi}=((\ket{0}-\ket{1})\ket{1}(\ket{10}+\ket{01})+(\ket{0}+\ket{1})\ket{0}(\ket{00}+\ket{11}))/(2\sqrt{2})$$

La cuestión de "¿sigue enredado?" Es directamente "sí", pero eso es realmente una trivialidad de un tema mucho más complejo. Está enredado en el sentido de que no es un estado del producto .$\ket{\psi_1}\otimes\ket{\psi_2}\otimes\ket{\psi_3}\otimes\ket{\psi_4}$

Una manera simple de ver que este estado está enredado es elegir una bipartición, es decir, una división de los qubits en dos partes. Por ejemplo, tomemos el qubit 1 como una parte (A), y todos los demás como parte B. Si calculamos el estado reducido de la parte A, un estado del producto (desenredado) tendría que dar un estado puro. Mientras tanto, si el estado reducido no es puro, es decir, tiene un rango superior a 1, el estado está definitivamente enredado. Por ejemplo, en este caso tiene rango 2. En realidad, no No importa lo que hiciste entre los qubits 2 y 3, como

$$\rho_A=\text{Tr}(\ket{\Psi}\bra{\Psi})=\frac{\mathbb{I}}{2},$$ $\rho_A$es independiente de ese unitario; no puede eliminar el enredo creado con el qubit 1 (solo posiblemente lo extienda entre los qubits 2 y 3). El hecho de que tenga que mirar diferentes biparticiones para ver qué qubits están enredados con lo que ya comienza a indicar algo de la complejidad. Para estados puros, es suficiente mirar cada una de las biparticiones de 1 qubit con el resto. Si cada una de estas matrices de densidad reducida es de rango 1, todo su estado es separable.

En relación con su pregunta, es posible que desee buscar problemas de "monogamia de enredo": cuanto más enredado está el qubit 1 con el qubit 2, menos enredado está el qubit 1 con el qubit 3 (por ejemplo), y eso se puede cuantificar en Un número de formas diferentes. Igualmente, puede hacer preguntas sobre "¿qué tipo de enredo hay?". Un enfoque es observar qué tipos de enredos pueden convertirse en diferentes tipos (a menudo denominados "clases de equivalencia SLOCC"). Por ejemplo, con 3 qubits, las personas hacen la distinción entre el enredo del estado W, que se ve como y el entrelazamiento GHZ que se ve como , así como el enredo bipartito entre diferentes pares de qubits y un estado separable en el otro.$\ket{001}+\ket{010}+\ket{100}$$\ket{000}+\ket{111}$