¿El control cuántico permite implementar alguna puerta?

Utilizando técnicas de control cuántico es posible controlar sistemas cuánticos en una amplia gama de escenarios diferentes (por ejemplo, 0910.2350 y 1406.5260 ).

En particular, se demostró que utilizando estas técnicas es posible implementar puertas como la puerta Toffoli (cuántica) ( 1501.04676 ) con buenas fidelidades. Más precisamente, muestran que dada la puerta Toffoli , definida como la puerta C-CNOT y un Hamiltoniano dependiente del tiempo que contiene un conjunto específico de interacciones, uno puede encontrar un conjunto de parámetros (dependientes del tiempo) de tal que $\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}\mathcal{U}_{\on{Toff}}$

$$\newcommand{\ketbra}[2]{\lvert#1\rangle\langle#2\rvert} \newcommand{\ket}[1]{\lvert#1\rangle} \newcommand{\bra}[1]{\langle#1\rvert} \mathcal{U}_{\on{Toff}}\equiv \ket{0}_1\!\bra{0}\otimes \on{CNOT} + \ket{1}_1\!\bra{1}\otimes I,$$ $H(t)$$H(t)$ $$\mathcal T \exp\left(-i \int_0^\Theta H(\tau)d\tau\right) \simeq \mathcal U_{\on{Toff}}.$$

¿Existen resultados conocidos sobre la universalidad de tal enfoque? En otras palabras, ¿las herramientas proporcionadas por la teoría del control cuántico permiten decir cuándo, dado el conjunto de restricciones sobre los parámetros hamiltonianos permitidos, se puede realizar una puerta objetivo dada? (1)

Más precisamente, el problema es el siguiente: arreglar una puerta de destino $\mathcal U$ matemática que actúa sobre un conjunto de qubits (o más generalmente qudits), y un hamiltoniano parametrizado de la forma $H(t)=\sum_k c_k(t) \sigma_k$ , donde $\{\sigma_k\}_k$ es un conjunto fijo de operadores (hermitianos), y $c_k(t)$ son parámetros dependientes del tiempo que se determinarán. ¿Hay alguna manera de saber si hay coeficientes $\{c_k(t)\}_k$ modo que

$$\mathcal T\exp\left(-i\int_0^{\Theta} H(\tau)d\tau\right) \stackrel{?}{=} \mathcal U.$$

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(1) Tenga en cuenta que aquí hablo de control cuántico solo porque ese es el término utilizado en el documento. Si este no es el término más adecuado para referirse a este tipo de problemas, hágamelo saber.

Además, tenga en cuenta también que el problema resuelto en el documento es ligeramente diferente al que mencioné aquí. En particular, el hamiltoniano que consideran realmente actúa en el espacio de tres qudits de cuatro dimensiones, y el Toffoli solo se implementa como una dinámica efectiva en los niveles inferiores de cada cuarto. También estoy de acuerdo con los resultados de este tipo de curso.

Existe el concepto de controlabilidad de un sistema cuántico, es decir, ¿el conjunto de controles dado le permite crear algún estado o unitario? Por lo general, esto se calcula mirando el Álgebra de mentiras del sistema, y ​​puede ser bastante complicado; debe tomar los términos hamiltonianos individuales que puede controlar y calcular todos sus conmutadores a órdenes arbitrarias. Si puede tomar combinaciones lineales de esas y hacer un Hamiltoniano arbitrario, entonces su espacio completo de Hilbert es controlable; puedes hacer cualquier unidad que quieras, y se dice que cualquier estado cuántico es accesible desde cualquier otro. Consulte Controlabilidad completa de sistemas cuánticos (PRA 2001) para ver un ejemplo.

Sin embargo, un punto importante a enfatizar es que esto no le dice nada sobre la eficiencia, es decir, cuánto tiempo le lleva alcanzar un estado determinado (en función del tamaño del sistema). Hay una construcción explícita que puede hacer en función de la descomposición anterior en términos de conmutadores, pero el tiempo requerido se escala exponencialmente en el orden del conmutador requerido. Las técnicas numéricas de la teoría del control son métodos que intentan encontrar los campos de control requeridos (en función del tiempo) de una manera más eficiente, pero (que yo sepa) rara vez le brindan garantías. Entonces, si ha arreglado y acotado , el concepto de controlabilidad puede no ser suficiente.c k ( t $\Theta$$c_k(t)$

El control cuántico no necesariamente permite implementar cualquier puerta. Imagine que su control del sistema es una energía dependiente del tiempo. Eso corresponde al hamiltoniano . Entonces solo puede rotar alrededor de un eje de la esfera Bloch y su única opción es qué tan rápido rotar cuándo. Obviamente, esto es insuficiente para generar incluso puertas arbitrarias de un solo qubit porque entonces sería necesario poder realizar rotaciones sobre cualquier eje (arbitrario).$\hat{H}(t) = c(t) \hat{Z}$

No puedo responder la segunda parte de su pregunta, sobre los resultados conocidos de la universalidad. Sin embargo, tenga en cuenta que elegí un caso muy especial para ilustrar que el control cuántico simple no es suficiente. Imagine que hubiera elegido el hamiltoniano . Esta es una rotación constante alrededor de un eje (debido a una diferencia de energía entre los dos estados del qubit único involucrado) más una rotación que usted controla completamente sobre un eje ortogonal. Como puede producir una rotación arbitraria con una combinación adecuada de tales rotaciones, esto es universal (para un sistema de un solo qubit). Este es mi intento de ilustrar que no tener control universal si se tiene algún control podría verse como un caso especial más que como la regla. E$\hat{H}(t) = c(t) \hat{X} + \frac{E_0}{2} \hat{Z}$$E_0$