Bueno, no puedes tomar la derivada de con respecto a , porque es una variable entera. E(n)nn
En términos más generales, desea probar una propiedad con respecto a . El problema que tiene es que el dominio correspondiente no es un conjunto convexo: digamos, para y , , el valor no pertenece al dominio ya que no es un número entero. Pero si el dominio de la función, con respecto a la variable que le interesa, no es un conjunto convexo, el concepto de convexidad / concavidad ni siquiera está definido (tal vez en matemáticas superiores tienen un concepto más matizado para acomodar eso).nnn+10<λ<1λn+(1−λ)(n+1)=n+1−λ
Para determinar si la desigualdad que desea se mantiene, un enfoque algebraico de fuerza bruta es examinar su signo directamente: tenemos
[E(n+2)−E(n+1)]−[E(n+1)−E(n)]==(n+2)∫∞0p(1−F)n+2−1F′dp−2(n+1)∫∞0p(1−F)n+1−1F′dp+n∫∞0p(1−F)n−1F′dp
=∫∞0p(1−F)n−1F′⋅[(n+2)(1−F)2−2(n+1)(1−F)+n]dp
Haciendo el álgebra
(n+2)(1−F)2−2(n+1)(1−F)+n=n(1−F)2+2(1−F)2−2n(1−F)−2(1−F)+n=n[(1−F)2−2(1−F)+1]−2(1−F)F=n[(1−F)−1]2−2(1−F)F=nF2−2(1−F)F=F[nF−2+2F]=F⋅[(n+2)F−2]
Entonces hemos llegado a
[E(n+2)−E(n+1)]−[E(n+1)−E(n)]=∫∞0p(1−F)nF′⋅[(n+2)F−2]dp
Romper y manipular,
[E(n+2)−E(n+1)]−[E(n+1)−E(n)]==(n+2)∫∞0p(1−F)n+1F′dp−(2n+1)(n+1)∫∞0p(1−F)nF′dp
⟹[E(n+2)−E(n+1)]−[E(n+1)−E(n)]=E(n+2)−2n+1E(n+1)
Simplificando desde ambos lados obtenemosE(n+2)
−2E(n+1)+E(n)=−2n+1E(n+1)
⟹E(n)=2nn+1E(n+1)
y por inducción
⟹E(n+1)=2(n+1)n+2E(n+2)⟹E(n+2)=n+22(n+1)E(n+1)
Por lo tanto
[E(n+2)−E(n+1)]−[E(n+1)−E(n)]=
=(n+22(n+1)−1)E(n+1)−(1−2nn+1)E(n+1)
=(n+22(n+1)−1−1+2nn+1)E(n+1)
=n+2−4(n+1)+4n2(n+1)E(n+1)=n−22(n+1)E(n+1)
Entonces no es una búsqueda, para tenemos igualdad, y para la desigualdad es válida.n=1n=2n≥3
Este es mi intento. Como señalé en la pregunta (vea también la pregunta vinculada), tengo mis dudas.
Queremos mostrar que Dado que vemos que es una función de a . Sin embargo, en el contexto de búsqueda, restringimos su dominio a enteros positivos. Sin embargo, si mostramos que la función sin restricciones es convexa en , es fácil ver que la ecuación (1) es verdadera por la desigualdad de Jensen.
Podemos ver que Ahora, para suficientemente grande , esto es positivo. Por lo tanto, es convexo en y hemos terminado.
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