Comprender la construcción de procesos estocásticos.

He visto procesos estocásticos modelados / construidos de la siguiente manera.

Considere el espacio de probabilidad y deje que S sea ​​la transformación (medible) S : Ω → Ω que usamos para modelar la evolución del punto de muestra ω en el tiempo. Además, sea X el vector aleatorio X : Ω → R n . Entonces, el proceso estocástico { X t : t = 0 , 1 , . . . $(\Omega, \mathcal F, Pr)$$\mathbb S$$\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$$\omega$$X$$X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$$\{ X_t: t=0,1,...\}$se usa para modelar una secuencia de observaciones mediante la fórmula o X t = X ∘ S t$X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$$X_t = X \circ \mathbb S^t.$

¿Cómo debo entender los puntos de muestra y la transformación S en esta construcción? (¿Podría ω ser algo así como una secuencia de choques en ciertos casos?)$\omega \in \Omega$$\mathbb S$$\omega$

Para más concreción, ¿cómo escribiría estos dos procesos en esta notación?

Proceso 1: donde X 0 = 0 .

$$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$$ $X_0 = 0$

Proceso 2:

$$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$$

Esta construcción que describe no es completamente general. De hecho, caracteriza series de tiempo estrictamente estacionarias. Ya ves que es invariante de turno. Este operador es esencialmente un operador de turno.$S$

A modo de comparación, aquí está la definición habitual de, digamos, tiempo discreto, procesos:

Definición Un proceso estocástico es una secuencia de mapas medibles de Borel en un espacio de probabilidad ( Ω , F , μ ) . $\{ X_t \}$$( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

Ahora, para lo que está describiendo, tiene un mapa medible Borel fijo . Es la medida subyacente que está evolucionando de acuerdo a S . El mapa S induce una nueva "medida de avance" (en lenguaje teórico de medida) en Ω simplemente tomando preimágenes: defina una medida μ S por$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$$S$$S$$\Omega$$\mu_S$

$$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$$

$X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$$X \circ S$$\mathbb{R}^n$$S^t$$t$

$\omega$$( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$$X$$S$

$C[0, \infty)$$\omega$$\Omega$

$\Omega$$\mathcal{F}$$\sigma$$Pr$$Pr$

Referencia Esta caracterización / construcción por desplazamiento de series temporales estrictamente estacionarias se menciona en la Teoría asintótica de White para econométricos .

$\omega$

$\omega$

$\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$

El primer ejemplo es una elaboración sobre el primero:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$

Como hemos visto, la operación S en sí misma es bastante ambigua y difícil de interpretar razonablemente. Sin embargo, el punto a tener en cuenta es que define la medida para preservar la transformación y tomar una imagen debajo produce el conjunto con la misma medida. Entonces esta función dinámica de medida en nuestro espacio de estado en el tiempo.

$\mathbb{S}$$\omega$$X(\omega)$$\omega$$\mathbb{S}$$X$$\{X_t\}_{t=0}^\infty$