Consumidor óptimo en una economía con un continuo de productos básicos

Considere una economía con un continuo de productos, con un producto para cada punto en $[0,1]$ .

Supongamos que un consumidor quiere maximizar

$$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$$ sujeto a $$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$$ donde$c_i$ es la cantidad de la$i$ -ésima mercancía consumida,$p_i$ su precio y$M$ el ingreso monetario del consumidor.

Este tipo de problema surge, por ejemplo, al aplicar el modelo Dixit-Stiglitz a la macroeconomía o al comercio internacional.

La solución a este problema supuestamente es

$$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$$ donde$A$es una constante elegida para asegurar que se cumpla la restricción presupuestaria.

No estoy muy satisfecho con las derivaciones de este resultado que usan multiplicadores de Lagrange en analogía con el caso de un número finito de productos. ¿Cuál sería un método matemáticamente riguroso para obtener el resultado anterior?

Parece claro que no hay una solución única ya que cambiar arbitrariamente los valores de por un número finito de valores de i dejará las integrales en la función de utilidad y la restricción presupuestaria sin cambios. Espero que una derivación completamente rigurosa también indique correctamente este grado de falta de uniformidad.$c_i$$i$

EDITAR: En respuesta a los comentarios de @BKay, @Ubiquitous. Mi problema al comenzar con economías con productos básicos y tomar el límite como n → ∞ es que esto debe ir acompañado de un argumento que muestre que el límite óptimo es un óptimo del problema límite. Agradecería una referencia a un resultado que lo muestre para este problema en particular o un resultado general que sea aplicable a este problema.$n$$n \to \infty$

En respuesta a @AlecosPapadopoulos. Las pruebas del método multiplicador de Langrange que se enseña en matemáticas para los cursos de economía generalmente son para un número finito de variables de elección. Agradecería una referencia de dónde se justifica el método para un continuo de variables de elección. Además, la falta de uniformidad que menciono anteriormente muestra que el método no puede ser exactamente correcto. Entonces, ¿cuáles son exactamente los requisitos necesarios para su validez?

Lo completamente riguroso sería escribir la ecuación de Euler lagrange de este problema de cálculo de variaciones, esto le dará una solución fuerte que es lo que tiene o una solución débil que se escribe con respecto a una distribución.

Como el OP señaló en un comentario, el Teorema 1 en la sección 12 de Kolomogorov y el Cálculo de variaciones de Fomin parece proporcionar cierta comodidad de que de hecho podemos usar el método del multiplicador de Langrange cuando el número de nuestras variables es infinito. Aún así, los autores hacen eso en una nota al pie, escribiendo "el lector reconocerá fácilmente la analogía con los multiplicadores de Langrange". Entonces no, esto no muestra rigurosamente lo que queremos.

Creo que lo que necesitamos es un artículo como Craven, BD (1970). Una generalización de los multiplicadores de Lagrange. Boletín de la Australian Mathematical Society, 3 (03), 353-362. que en su resumen escribe:

El método de los multiplicadores de Lagrange para resolver un problema de valor estacionario restringido se generaliza para permitir que las funciones tomen valores en espacios arbitrarios de Banach (sobre el campo real). Se muestra que el conjunto de multiplicadores de Lagrange en un problema de dimensión finita se reemplaza por un mapeo lineal continuo entre los espacios relevantes de Banach.

Esto es matemático, pero dice lo que queríamos escuchar (también se puede encontrar una breve exposición en wikipedia en la medida en que confía en el contenido).

Entonces, podemos formar el lagrangeano del problema

$$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$$

y calcule las condiciones de primer orden, hablando informalmente, "mirando la integral y viendo una suma",

$$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$$

... un continuo de condiciones. Para uso posterior definimos

$$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$$

Se puede demostrar que la constante es la elasticidad de sustitución entre dos bienes.$\sigma$

Escribiendo para la mercancía j y equiparando a través del multiplicador común de lagrange llegamos a$(1)$$j$

$$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$$

Multiplique ambos lados por y tome la integral sobre el espacio de la comunidad con respecto a i :$p_i$$i$

$$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$$

$j$

Esto es solo una elaboración de la respuesta dada por @ user157623. Lo publico como wiki comunitario por conveniencia.

El teorema 1 de la sección 12 de Kolmogorov y el cálculo de variaciones de Fomin dice

$$J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$$ donde K [ y ] es otro funcional, y deja $$y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$$ $K[y]$$J[y]$$y=y(x)$$y=y(x)$$K[y]$$\lambda$$y=y(x)$ $$\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$$ $y=y(x)$ $$F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$$

$x$$i$$c$$y$$F(i,c,c')=c^\theta$$G(i,c,c')=pc$

$$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$$

¿Es aplicable el teorema? Nuestra $K[y]$$y(a)$$y(b)$$c$$c^*(i)$$c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

El único inconveniente está en la naturaleza del teorema mismo. Da las condiciones necesarias para un óptimo. Dado que en nuestro caso la condición necesaria da un resultado único, todo lo que necesitamos para que sea suficiente es argumentar que nuestro problema tiene una solución.

Las pruebas en Kolmogorov-Fomin suponen que las funciones que estamos tratando tienen primeras derivadas continuas. Por lo tanto, todavía tenemos que demostrar que el problema del consumidor tiene un óptimo en esta clase de funciones, pero dado que el problema está resuelto.