Equilibrio perfecto del subjuego en Baye, Shin (1999)

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Lo siguiente es tomado de Baye, Shin (1999)

Considere un concurso sobre un premio valorado en 1 con jugadores simétricos $ 1 $ y $ 2 $ que ejercen un nivel de esfuerzo $ x_1 $ y $ x_2 $ respectivamente. El esfuerzo no puede exceder de $ 2/3 $. La ganancia ($ \ pi $) del jugador 1 es

$$ \ pi_1 = \ frac {x_1- \ frac {x_1x_2} {2}} {x_1 + x_2-x_1x_2} -x_1 $$

El equilibrio de movimientos simultáneos es (denotado con superíndice $ * $)

$$ x_1 ^ * = x_2 ^ * = 1- \ frac {\ sqrt {2}} {2} $$

El beneficio para cada uno es

$$ \ pi_1 ^ * (x_1 ^ *, x_2 ^ *) = \ pi_2 ^ * (x_1 ^ *, x_2 ^ *) = \ frac {\ sqrt {2} -1} {2} $$

Y tenemos que la mejor respuesta del jugador $ 2 $.

$$ R_2 (x_1) = \ frac {2x_1- \ sqrt {(- 2x_1 ^ 2 + 4x_1)}} {2 (x_1-1)} $$

Sin embargo, supongamos que el jugador $ 1 $ 'se mueve' antes del jugador $ 2 $. Luego, el jugador $ 1 $ se desviaría (hacia arriba) de $ x_1 ^ * $, probablemente, porque el jugador $ 2 $ reduciría su nivel de esfuerzo y recibiría más del premio. ¿Cómo se muestra esto?


En el artículo, Baye y Shin consideran el nuevo equilibrio de Stackelberg $ \ pi_1 ^ s $ donde muestran que $ \ pi_1 ^ s (x_1 ^ * + \ epsilon) & gt; 0 $ para algunos $ \ epsilon & gt; 0 $. Específicamente

$$ \ pi_1 ^ s (x_1 ^ * + \ epsilon) - \ pi_1 ^ * (x_1 ^ * + x_2 ^ *) = \ frac {\ sqrt {1 + 2 \ epsilon \ sqrt {2} -2 \ epsilon ^ 2} -1- \ epsilon \ sqrt {2} +2 \ epsilon ^ 2} {\ sqrt {2} -2 \ epsilon} & gt; 0 $$


He intentado replicar su resultado al ver cómo cambia $ x_2 $ con $ x_1 + \ epsilon $ y sustituyendo $ x_1 + \ epsilon $ y el nuevo valor de $ x_2 ^ s $ en la función de ganancia de $ 1 $, pero no logro alcanzar su resultado

pafnuti
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Respuestas:

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Fiel al dicho de que una imagen vale más que mil palabras, vamos a trazar la función de ganancias bajo el juego Stackelberg y veremos con qué nos enfrentamos.

Usted observó correctamente (o copió del documento de Baye, Shin) que la función de reacción del jugador 2 es:

$$ R (x_1) = \ frac {2 \ mathit {x_1} - \ sqrt {2} \, \ sqrt {2 \ mathit {x_1} - {{\ mathit {x_1}} ^ {2}}}} {2 \ mathit {x_1} -2} \ $$

Insertar esta función de reacción en la función de ganancia del jugador 1 nos da una expresión complicada:

$$ \ pi (x_1) = - \ frac {{{2} ^ {\ frac {3} {2}}} \, \ sqrt {2- \ mathit {x_1}} \, {{\ mathit {x_1}} ^ {2}} - 2 {{\ mathit {x_1}} ^ {\ frac {3} {2}}} - 3 \ sqrt {2} \, \ sqrt {2- \ mathit {x_1}} \, \ mathit {x_1} +4 \ sqrt {\ mathit {x_1}}} {{{2} ^ {\ frac {3} {2}}} \, \ sqrt {2- \ mathit {x_1}} \, \ left ( \ mathit {x_1} -1 \ derecha)} $$

(Quizás los programas matemáticos simbólicos más avanzados puedan simplificar esto aún más, el mío no). En cualquier caso, esta es una función de una variable $ \ mathit {x_1} $, y se puede trazar. Para completar, también he insertado el equilibrio original.

SB profit function and symmetric NE

Como puede ver, el NE original ya no es un máximo local, y el jugador 1 puede aumentar sus ganancias al aumentar su esfuerzo.

Maarten Punt
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