Límites uniformes en la tasa de fusión para estudiantes bayesianos

Actualizar. Cross publicado en Cross Validated .

En un artículo bien conocido, Blackwell y Dubins (1962) muestran que las probabilidades posteriores de dos agentes bayesianos, cuyos antecedentes coinciden en los eventos de la medida , se acercarán arbitrariamente bajo un flujo creciente de información. $0$

Matemáticamente, el resultado es el siguiente. Sea un espacio de probabilidad filtrado con . Deje que sea una probabilidad de con . Entonces, Decimos que y fusionan fuertemente . $(\Omega, \mathcal{F}, \{\mathcal{F}_n\}, Q)$ $\mathcal{F}_n \uparrow \mathcal{F}$ $P$ $(\Omega, \mathcal{F})$ $Q \ll P$

d ({PAGS}^{norte}, Q^{norte}) : = \underset{UNA \in F}{cenar} El | PAGS (UNA ∣ F_{norte}) - Q (UNA ∣ F_{norte}) El | \to 0 0 como Q como norte \to \infty .

$d(P^n, Q^n): = \sup_{A \in \mathcal{F}}|P(A \mid \mathcal{F}_n) - Q(A \mid \mathcal{F}_n)| \to 0 \text{ a.s. $Q$ as } n \to \infty.$

P

$P$

Q

$Q$

En un artículo más reciente y también muy influyente, Kalai y Lehrer (1994) presentan la noción de fusión débil . La definición es la anterior, excepto que $\sup$ se toma sobre eventos de horizonte finito; los eventos de cola se ignoran:

w ({PAGS}^{norte}, Q^{norte}) : = \underset{UNA \in F_{norte + 1}}{cenar} El | PAGS (UNA ∣ F_{norte}) - Q (UNA ∣ F_{norte}) El | \to 0 0 como Q como norte \to \infty .

$w(P^n, Q^n) : = \sup_{A \in \mathcal{F}_{n+1}}|P(A \mid \mathcal{F}_n) - Q(A \mid \mathcal{F}_n)| \to 0 \text{ a.s. $Q$ as } n \to \infty.$

Para una fusión débil, es posible encontrar límites uniformes en la tasa de convergencia (Fudenberg y Levine, 1992; Sorin, 1999). Me pregunto si hay algún resultado en esta dirección para una fusión fuerte.

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Esto debería pasar a Validación cruzada o Matemáticas. Es más probable que las personas en esas juntas conozcan documentos específicos sobre secuencias de funciones que convergen en una función limitante. Sin embargo, estoy muy interesado en la respuesta, ya que está relacionada con una pregunta en la que estoy trabajando. No tengo conocimiento de ninguno.

Dave Harris

@DaveHarris Desafortunadamente, la gente de MSE no parece estar demasiado familiarizada con esta literatura. He hecho preguntas sobre Blackwell y Dubins antes. ¿Estás seguro de que la pregunta no debe dejarse aquí? La fusión débil se discute ampliamente en las revistas de economía de los economistas. Aunque, por supuesto, estoy de acuerdo en que el tema podría ser un poco más técnico que la pregunta promedio publicada aquí.

No lo sé. Es una pregunta válida aquí, si es un poco esotérica para este grupo. Hay una audiencia limitada para esto. En parte, es porque hay suposiciones fuertes e implícitas sobre información, preferencias e incentivos, así como sobre la vida de un juego. Tenemos una muestra arbitrariamente grande sobre la evolución y la redondez de la tierra, sin embargo, tanto Ken Ham como el Cavalier de la tierra plana estuvieron en las noticias esta semana. El infinito es mucho tiempo.

Dave Harris

De hecho es mucho tiempo. Y es precisamente por eso que quiero entender mejor la tasa de fusión. De todos modos, creo que su sugerencia de publicar en Cross Validated es buena, y lo he hecho. Sospecho que este es un problema abierto, aunque espero que surjan algunas pistas.

Este documento de Acemoglu, Chernozhukov e Yildiz (2016) y las referencias en él pueden ser de interés.

Los resultados que obtienen están en un entorno mucho más limitado, pero creo que todavía hacen un gesto hacia la dirección que estás mirando. De lo contrario, su revisión de la literatura también debería ser útil.

Economista teórico
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Disculpas por la breve respuesta: este tema está un poco lejos para mí. Sin embargo, sospecho que aún debería ser algo útil.

Economista teórico

Gracias por esto. Intentaré leerlo en los próximos días e informar sobre los resultados relevantes.

Excelente; Déjame saber. Tengo curiosidad también. Y es posible que haya hablado demasiado pronto sobre cuán limitados son sus resultados: un poco más de descremado sugiere que está más cerca de la formulación de Blackwell y Dubins de lo que inicialmente pensé.

Economista teórico

Después de mirar el modelo, pero no todos los resultados, parece que están interesados en un fenómeno algo diferente, que explican informalmente en la p.193. Aún así, el artículo parece interesante y probablemente continuaré leyendo.

Límites uniformes en la tasa de fusión para estudiantes bayesianos

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