Curvas de indiferencia

Si un consumidor sigue el axioma de la racionalidad de la continuidad (es decir, sin saltos en sus preferencias), se dice que las curvas de indiferencia de una función de utilidad son delgadas.

¿Por qué la continuidad ( tal que | z | ≥ y ∀ ϵ > 0 ) implica curvas de indiferencia delgadas?$x \succeq y \Rightarrow \exists \space z=x+\epsilon$$|z|\ge y \space \forall \epsilon > 0$

No creo que la continuidad sola sea suficiente para garantizar curvas de indiferencia delgadas.

$x$$y$$x$$y$

Pero estas preferencias también satisfacen su definición de continuidad.

Por lo tanto, parece que la continuidad solo implica curvas de indiferencia delgadas si se combina con alguna otra suposición.

Para empezar, creo que la pregunta está mal formulada. Porque si la definición de una curva de indiferencia delgada es tal que la continuidad de las preferencias de un consumidor implica curvas de indiferencia delgadas, entonces, seguramente, la continuidad implica curvas de indiferencia delgadas ... Esto responde a su pregunta.

$$[q]=\{p\in\Delta|p\sim q\}$$ $\Delta$$\sim$$q'\in [q]$$\epsilon>0$$p\in N_{\epsilon}(q')$$p\sim q'$$N_{\epsilon}(q')$$q'$$[q]$$[q]$

Esencialmente, lo anterior es una breve exposición de Un enfoque geométrico de la utilidad esperada (Chatterjee y Krishna, 2006) . Utilizando la definición anterior de una curva de indiferencia delgada, muestran en el Lema 2.3 que (i) la continuidad y (ii) la independencia implica curvas de indiferencia delgadas (tenga en cuenta que no muestran que la continuidad sola implique curvas de indiferencia delgadas; cf. Respuesta ubicua) . Su definición se basa en los siguientes dos conceptos topológicos.

1. $\{q|q\succ p\}$$\{q|p\succ q\}$$\Delta$$p\in \Delta$
2. $p,q,r\in\Delta$$p\succ q$$\lambda\in (0,1]$ $$\lambda p+(1-\lambda)r\succ \lambda q+(1-\lambda)r;$$

$[q]$$N_{\epsilon}(q')$$q'\in [q]$$p\in N_{\epsilon}(q')$$p\sim q'$$\epsilon>0$$q'$$q'$

$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2$$0$