¿La función de conteo principal # P-completa?

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Recuerde que π(n) el número de primos n es la función de recuento de primos . Por "PRIMES en P", calcular π(n) está en #P. ¿Es el problema # P-completo? O, tal vez, ¿hay una razón compleja para creer que este problema no es # P-completo?

PD: Me doy cuenta de que esto es un poco ingenuo ya que alguien debe haber estudiado el problema y haber probado / refutado / conjeturado esto, pero parece que no puedo encontrar la respuesta en la literatura. Mira aquí si tienes curiosidad por qué me importa.

Igor Pak
fuente
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@MohsenGhorbani: No, no son los "mismos" problemas. Ni siquiera similar.
Igor Pak
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No hay evidencia en contra, solo curiosidad: ¿conocemos una sola función que sea # P-completa que realmente trate a n como un número? Es decir, siempre podemos ver la representación binaria de n y tratar esa cadena binaria como una fórmula o gráfico SAT, pero quiero evitar eso. f(n)
Joshua Grochow
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@JoshuaGrochow Los problemas difíciles "naturales" (no NT) que conozco con un parámetro están en # EXP-c. Un ejemplo de tal problema: número de inclinaciones de cuadrado con un conjunto fijo T de mosaicos (es decir, los mosaicos no están en la entrada). Thm: existe T st este problema es # EXP-c. n×nTT
Igor Pak
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@Joshua Esto está bastante relacionado con la integridad de NP de , para lo cual, aparentemente, tampoco tenemos una respuesta definitiva todavía: cstheory.stackexchange.com/questions/14124/…f(n)
domotorp
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Observe que , por lo tanto, π estaba en #P desde Miller – Rabin. #PBPP=#Pπ
Emil Jeřábek apoya a Monica

Respuestas:

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Alguna evidencia heurística: según nuestro conocimiento, π(n) parece una función simple corregida por fluctuaciones aleatorias. Por lo tanto, esperaría que una máquina de poli-tiempo con un oráculo π(n) no sea más fuerte que una máquina con un oráculo aleatorio, y wrt un oráculo aleatorio X agregando un oráculo aleatorio separado Y a PAG da # #PAGXPAGXY con probabilidad 1 (aquí Y corresponde a π(norte) y X es un oráculo aleatorio independiente).

Geoffrey Irving
fuente
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La última oración me parece engañosa. Si bien, de hecho, , lo que realmente necesitamos aquí es Pr X [ P PP X ] = 1 , y no sabemos si esto es cierto. De hecho, esto es equivalente a P P B P P . PrX[PPXPX]=1PrX[PPPX]=1PPBPPAG
Emil Jeřábek apoya a Mónica
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@ EmilJeřábek: Claro, pero en términos de evidencia de que no es # P-completo, si uno pudiera demostrar formalmente que si es # P-completo, entonces PP = BPP, tomaría eso como una evidencia bastante sólida contra # P-completitud ...π(n)
Joshua Grochow
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@JoshuaGrochow Estoy de acuerdo con eso. Simplemente no creo que el resultado en con oráculo aleatorio sea relevante. PXPPX
Emil Jeřábek apoya a Mónica
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@ EmilJeřábek: Sí, ese es un buen punto. Antes de editar, ¿aceptarías como evidencia el hecho de que aa da dos oráculos aleatorios, que creo que sí sabemos? PXY#PX
Geoffrey Irving
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¿Sabemos eso?
Emil Jeřábek apoya a Mónica