¿Cómo puede una distribución tener media y varianza infinitas?

35

Se agradecería si se pudieran dar los siguientes ejemplos:

Una distribución con media infinita e infinita varianza.
Una distribución con media infinita y varianza finita.
Una distribución con media finita e infinita varianza.
Una distribución con media finita y varianza finita.

Viene de mí al ver estos términos desconocidos (media infinita, variación infinita) utilizados en un artículo que estoy leyendo, buscando en Google y leyendo un hilo en el foro / sitio web de Wilmott , y no encuentro una explicación suficientemente clara. Tampoco he encontrado ninguna explicación en ninguno de mis propios libros de texto.

distributions variance mean user1205901 - Restablecer Monica
fuente

1

el caso 2 en su lista anterior es imposible.

kjetil b halvorsen

Relevante: stats.stackexchange.com/questions/94402/…

kjetil b halvorsen

1

Posible duplicado de ¿Cuál es la diferencia entre la varianza finita e infinita

Kjetil b halvorsen

2

Al pedir estos cuatro ejemplos específicos, creo que esta es una pregunta distinta y no debería cerrarse como un duplicado, aunque la otra pregunta es ciertamente relevante y útil.

Silverfish

1

De los 4 ejemplos, solo 1, 3 y 4 son realmente posibles y se pueden dar ejemplos fáciles para 1 y 4. Cauchy es un ejemplo de 1 y el gaussiano es un ejemplo de 4. Es imposible que la varianza esté bien definida si el .mean no existe. Por lo tanto, 2 no es posible. Sería interesante construir un ejemplo de 3.

Michael R. Chernick

52

La media y la varianza se definen en términos de integrales. Lo que significa para la media o la varianza a ser infinito es una declaración sobre el comportamiento limitante para aquellos integrales

Por ejemplo, la media es (considerando esto, digamos como una integral de Stieltjes); para una densidad continua, esto sería (ahora como una integral de Riemann, por ejemplo). $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$ $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

Esto puede suceder, por ejemplo, si la cola es "lo suficientemente pesada". Considere los siguientes ejemplos para cuatro casos de media y varianza finita / infinita:

Una distribución con media infinita e infinita varianza.

Ejemplos: distribución de Pareto con , un zeta (2) de distribución. $\alpha= 1$
Una distribución con media infinita y varianza finita.

Imposible.
Una distribución con media finita e infinita varianza.

Ejemplos: distribución . Pareto con . $t_2$ $\alpha=\frac{3}{2}$
Una distribución con media finita y varianza finita.

Ejemplos: Cualquier normales. Cualquier uniforme (de hecho, cualquier variable acotada tiene todos los momentos). . $t_3$

También puede tener una distribución donde está definida la integral pero no pasa necesariamente más allá de todos los límites finitos en el límite.

Estas notas de Charles Geyer hablan sobre cómo calcular integrales relevantes en términos simples. Parece que se trata de integrales de Riemann allí, que solo cubre el caso continuo, pero las definiciones más generales de integral (Stieltjes, por ejemplo) cubrirán todos los casos que es probable que necesite [la integración de Lebesgue es la forma de integración utilizada en la teoría de la medida (lo que subyace a la probabilidad) pero el punto aquí funciona bien con métodos más básicos]. También cubre (Sec 2.5, p13-14) por qué "2". no es posible (la media existe si existe la varianza).

Glen_b -Reinstate a Monica
fuente

77

+1 La razón por la cual (2) es imposible es trivial: la varianza se define en términos de la media. Un poco más profundo es el hecho de que cuando el segundo momento de es finito, la media debe ser finita. Porque si la media es infinito, entonces a fortiori el segundo momento debe ser infinita debido a que el segundo momento es la ponderación de los valores de , no sólo por la probabilidad, sino también por en sí ( ). Esos pesos crecen sin límite, causando que el segundo momento eventualmente exceda el valor absoluto del primer momento.

X

$X$

X

$X$

X

$X$

X^{2} = X \times X

$X^2 = X\times X$

whuber

44

@whuber, pero podría definir la varianza sin referencia a la media (como en términos de expectativas de diferencias al cuadrado en pares de valores), por lo que el problema no es tan trivial como eso. Realmente se necesita algo más como su segundo argumento.

Glen_b -Reinstalar Monica

3

Ese es un buen punto, pero si aceptamos que cualquier definición alternativa de la varianza es algebraicamente equivalente a la definición habitual para todas las distribuciones, entonces si no está definida de acuerdo con una definición, lógicamente parecería ser una demostración suficiente de que no está definida de acuerdo con al centro comercial. Donde las alternativas como la que usted menciona se destacan en el estudio de los procesos estocásticos donde las diversas definiciones no son equivalentes.

whuber

2

Sí. Una varianza, que es la expectativa de una variable aleatoria no negativa, es igual a la integral de Lebesgue de la parte positiva sola. Por lo tanto, es finito o infinito (en la recta numérica extendida), pase lo que pase. Esta propiedad de no ser negativo distingue el análisis de momentos pares del de otros momentos, que pueden no definirse.

whuber

2

La definición de varianza es que es igual a .

E [(X - E (X))^{2}]

$\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$

whuber

5

Las distribuciones estables proporcionan buenos ejemplos paramétricos de lo que está buscando:

media y varianza infinitas: $0 < \text{stability parameter} < 1$
N / A
media finita e infinita varianza: $1 \leq \text{stability parameter} < 2$
media finita y varianza: (gaussiano) $\text{stability parameter} = 2$

Steve Schulist
fuente

1

Nadie ha mencionado la paradoja de San Petersburgo aquí; de lo contrario, no publicaría en un hilo tan antiguo que ya tenga varias respuestas, incluida una respuesta "aceptada".

Si una moneda cae "cara", ganas un centavo.

Si "sale", las ganancias se duplican y luego si "sale" en el segundo lanzamiento, ganas dos centavos.

Si "sale" la segunda vez, las ganancias se duplican nuevamente y si "sale" en el tercer lanzamiento, gana cuatro centavos.

Y así sucesivamente: La suma de productos es por lo que es un valor esperado infinito .

\begin{array}{rccc} outcome & winnings & probability & product \\ H & 1 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ TH & 2 & 1 / 4 & 1 / 2 \\ TTH & 4 & 1 / 8 & 1 / 2 \\ TTTH & 8 & 1 / 16 & 1 / 2 \\ TTTTH & 16 & 1 / 32 & 1 / 2 \\ TTTTTH & 32 & 1 / 64 & 1 / 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array}

$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = + \infty,

$\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$

Eso significa que si paga millón por cada lanzamiento de moneda, o billón, etc., finalmente saldrá adelante. ¿Cómo puede ser eso, cuando es poco probable que ganes más de unos centavos cada vez? $\$1$ $\$1$

La respuesta es que en una ocasión muy rara, obtendrá una larga secuencia de colas, de modo que las ganancias lo compensarán por el inmenso gasto en el que ha incurrido. Eso es cierto sin importar cuán alto sea el precio que pague por cada lanzamiento.

Michael Hardy
fuente

-1

Acerca de la segunda distribución que está buscando, considere la variable aleatoria entonces la respuesta es infinita con probabilidad uno y, por lo tanto, la varianza es cero y la media de La distribución tiene un valor de infinito.

X_{2} = number of times you can zoom in like 10cm into a fractal

$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$

Señor joe
fuente

Es un ejemplo interesante, pero para los cálculos necesita un sistema extendido de números reales donde .

\infty - \infty = 0

$\infty - \infty=0$

kjetil b halvorsen

¿Cómo puede una distribución tener media y varianza infinitas?

Respuestas: