¿La media y la varianza siempre existen para distribuciones familiares exponenciales?

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Suponga que una variable aleatoria escalar X pertenece a una familia exponencial de parámetros vectoriales con pdf

fX(x|θ)=h(x)exp(i=1sηi(θ)Ti(x)A(θ))

donde es el vector de parámetros y es la estadística conjunta suficiente.θ=(θ1,θ2,,θs)TT(x)=(T1(x),T2(x),,Ts(x))T

Se puede demostrar que existen la media y la varianza para cada Ti(x) . Sin embargo, ¿la media y la varianza para X (es decir, E(X) y Var(X) ) siempre existen también? Si no, ¿hay un ejemplo de una distribución familiar exponencial de esta forma cuya media y variable no existen?

Gracias.

Wei
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Respuestas:

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Tomando , , , y da proporcionado , produciendos=1h(x)=1η1(θ)=θT1(x)=log(|x|+1)A(θ)=log(2/(1+θ))θ<1

fX(x|θ)=exp(θlog(|x|+1)log(21+θ))=1+θ2(1+|x|)θ.

Figura

Se muestran gráficos de para (en azul, rojo y dorado, respectivamente).fX( |θ)θ=3/2,2,3

Claramente, los momentos absolutos de pesos o mayor no existen, porque el integrando , que es asintóticamente proporcional a , producirá una integral convergente en los límites si y solo si . En particular, cuando esta distribución ni siquiera tiene una media (y ciertamente no una varianza).α=1θ|x|αfX(x|θ)|x|α+θ±α+θ<12θ<1,

whuber
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No entiendo la condición . ¿Te refieres a ? Cuando , no está definido y es negativo y no puede ser un pdf. Por favor, hágame saber lo que me perdí. Gracias. θ<1θ>1θ<1A(θ)fX(x|θ)
Wei
Me disculpo, porque un signo menos se omitió en el cálculo de . Lo he reemplazado en las fórmulas. Realmente quiero decir . Aθ<1
whuber
Gracias por el ejemplo. Estoy de acuerdo con los momentos de. ¿Qué tal los momentos de sí? Por ejemplo, cuando en su ejemplo anterior, ¿existe ? |x|x2<θ<1E(x)
Wei
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Debido a que la integral de Lebesgue se define en términos de las partes positivas y negativas del integrando, los momentos de existen si y solo si los momentos deexiste. x|x|
whuber
@Wei: existe solo si . Sin esta restricción, la expectativa no se define de manera única para algunos CDF. E{g(X)}E{|g(X)|}<
Dennis