¿Por qué no usar Beta (1,1) como límite evitando previamente un parámetro de correlación transformado?

En Bayesian Data Analysis , capítulo 13, página 317, segundo párrafo completo, en las aproximaciones modales y distributivas, Gelman et al. escribir:

Si el plan es resumir la inferencia por el modo posterior de $\rho$ [el parámetro de correlación en una distribución normal bivariada], reemplazaríamos la distribución previa U (-1,1) con $p(\rho) \propto (1 - \rho)(1 + \rho)$, que es equivalente a una Beta (2,2) en el parámetro transformado $\frac{\rho + 1}{2}$. Las densidades anteriores y resultantes son cero en los límites y, por lo tanto, el modo posterior nunca será -1 o 1. Sin embargo, ... la densidad previa para$\rho$ es lineal cerca de los límites y, por lo tanto, no va a contradecir ninguna probabilidad.

A continuación se muestra un gráfico del PDF para la distribución Beta (2,2).

Aunque la gráfica se da para el dominio [0,1], la forma es la misma para el dominio [-1,1] obtenido al realizar el inverso de la transformación descrita en la cita anterior. ¡Esta es una distribución bastante informativa! Da aproximadamente siete veces la densidad a$\frac{\rho + 1}{2} = 0.5$ de lo que hace para $\frac{\rho + 1}{2} = 0.3,0.97$. Lo que en realidad sería contradecir la probabilidad si la probabilidad señaló hacia algo lejos de los límites, pero aún más de$\rho = 0$. No sería un mejor límite evitar antes ser Beta (1 +$\delta$1 + $\delta$), dónde $\delta \rightarrow 0$. Tomemos, por ejemplo, Beta (1.0001, 1.0001), graficado a continuación:

El problema con esto antes, por supuesto, es que la densidad cae muy cerca de cero, lo que puede contradecir la probabilidad de que apunte a un espacio que esté muy cerca de un límite. Lo cual me lleva a mi pregunta:

¿Por qué no simplemente establecer el previo del parámetro de correlación transformado en Beta (1,1)? Debido a que la densidad de distribución beta es cero para$\frac{\rho + 1}{2} = 0,1$, esto es equivalente a la distribución uniforme en el intervalo abierto (-1,1) en lugar del intervalo cerrado [-1,1], y por lo tanto, no es un límite que evite el anterior, y no es preferible a un anterior que coloque creencia bastante fuerte en la probabilidad de que$\rho = 0$, que solo es deseable si realmente tienes esa creencia?

En términos más generales, no está utilizando la distribución beta por definición evitando un límite anterior porque su soporte es$0 < \frac{\rho + 1}{2} < 1$?

En casos donde la función de probabilidad se maximiza en $\rho=-1$, el uso de Beta (1,1) durante un intervalo abierto no ayuda, ya que no existe un modo posterior bien definido. No hay ningún punto en el intervalo abierto que pueda decir que es el modo posterior.

El libro quiere que lo anterior sea lineal en los límites, que selecciona de forma única Beta (2,2) de todas las distribuciones Beta. Pero el libro nunca explica con precisión por qué la linealidad es tan importante.