La curtosis es medir el pico y la planeidad de una distribución. La función de densidad de la distribución, si existe, se puede ver como una curva y tiene características geométricas (como curvatura, convexidad, ...) relacionadas con su forma.
Entonces, me pregunto si la curtosis de una distribución está relacionada con algunas características geométricas de la función de densidad, lo que puede explicar el significado geométrico de la curtosis.
Respuestas:
Los momentos de una distribución continua, y funciones de ellos como la curtosis, le dicen muy poco sobre el gráfico de su función de densidad.
Considere, por ejemplo, los siguientes gráficos.
Cada uno de estos es el gráfico de una función no negativa que se integra a : todos son archivos PDF. Además, todos tienen exactamente los mismos momentos, hasta el último número infinito de ellos. Por lo tanto comparten una kurtosis común (que pasa a ser igual a - 3 + 3 e 2 + 2 e 3 + e 4 ).1 - 3 + 3 e2+ 2 e3+ e4 4
Las fórmulas para estas funciones son
para - 1 ≤ s ≤ 1 , y k ∈ Z .x > 0 , - 1 ≤ s ≤ 1 , k ∈ Z .
La figura muestra valores de a la izquierda y valores de k en la parte superior. La columna de la izquierda muestra el PDF para la distribución lognormal estándar.s k
El ejercicio 6.21 de la Teoría avanzada de estadística de Kendall (Stuart y Ord, quinta edición) le pide al lector que demuestre que todos tienen los mismos momentos.
Uno puede modificar de manera similar cualquier pdf para crear otro pdf de forma radicalmente diferente pero con los mismos momentos centrales segundo y cuarto (digamos), que por lo tanto tendrían la misma curtosis. Solo a partir de este ejemplo, debería quedar muy claro que la curtosis no es una medida de simetría, unimodalidad, bimodalidad, convexidad o cualquier otra caracterización geométrica familiar de una curva fácilmente interpretable o intuitiva.
Por lo tanto, las funciones de los momentos (y la curtosis como un caso especial) no describen las propiedades geométricas de la gráfica del pdf. Esto tiene sentido intuitivamente: debido a que un pdf representa la probabilidad por medio del área, podemos cambiar casi libremente la densidad de probabilidad de una ubicación a otra, cambiando radicalmente la apariencia del pdf, al mismo tiempo que arreglamos cualquier número finito de momentos especificados previamente.
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Para distribuciones simétricas (es decir, aquellas para las cuales los momentos centrados pares son significativos) la curtosis mide una característica geométrica del pdf subyacente. No es cierto que la curtosis mida (o esté relacionada en general) con el pico de una distribución. Más bien, la curtosis mide cuán lejos está la distribución subyacente de ser simétrica y bimodal (algebraicamente, una distribución perfectamente simétrica y bimodal tendrá una curtosis de 1, que es el valor más pequeño posible que puede tener la curtosis) [0].
En pocas palabras [1], si define:
[0] RB Darlington (1970). ¿Es la curtosis realmente un "pico"? El estadístico estadounidense, vol. 24, N ° 2.
[1] JJA Moors (1986). El significado de la curtosis: Darlington reexaminado. The American Statistician, Volumen 40, Número 4.
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[Nota: esto fue escrito en respuesta a otra pregunta en el sitio; Las respuestas se fusionaron con la presente pregunta. Es por eso que esta respuesta parece responder a una pregunta redactada de manera diferente. Sin embargo, gran parte de la publicación debería ser relevante aquí.]
La curtosis realmente no mide la forma de las distribuciones. Tal vez dentro de algunas familias de distribución, se puede decir que describe la forma, pero en general la curtosis no le dice mucho acerca de la forma real. La forma se ve afectada por muchas cosas, incluidas las que no están relacionadas con la curtosis.
Si se realizan búsquedas de imágenes para la curtosis, se muestran bastantes imágenes como esta:
que en cambio parecen estar cambiando la varianza, en lugar de aumentar la curtosis. A modo de comparación, aquí hay tres densidades normales que acabo de dibujar (usando R) con diferentes desviaciones estándar:
Como puede ver, se ve casi idéntico a la imagen anterior. Todos estos tienen exactamente la misma curtosis. Por el contrario, aquí hay un ejemplo que probablemente esté más cerca del objetivo del diagrama
Esto suele ser lo que las personas quieren decir cuando hablan de curtosis que indica la forma de la densidad. Sin embargo, la curtosis puede ser sutil, no tiene que funcionar así.
Por ejemplo, en una variación dada, una curtosis más alta puede ocurrir con un pico más bajo.
También hay que tener cuidado con la tentación (y en muchos libros se dice abiertamente) que el exceso de curtosis cero implica normalidad. Hay distribuciones con exceso de curtosis 0 que no son nada normales. Aquí hay un ejemplo:
De hecho, eso también ilustra el punto anterior. Podría construir fácilmente una distribución de aspecto similar con curtosis más alta que la normal pero que todavía es cero en el centro, una ausencia total de pico.
Hay una serie de publicaciones en el sitio que describen aún más la curtosis. Un ejemplo está aquí .
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Editar 23/11/2018: desde que escribí esta publicación, he desarrollado algunas perspectivas geométricas sobre la curtosis. Una es que el exceso de curtosis se puede visualizar geométricamente en términos de desviaciones de la línea esperada de 45 grados en las colas de la gráfica normal cuantil-cuantil; ver ¿Este gráfico QQ indica distribución leptokurtic o platykurtic?
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Un tipo diferente de respuesta: podemos ilustrar la curtosis geométricamente, usando ideas de http://www.quantdec.com/envstats/notes/class_06/properties.htm : momentos gráficos.
A continuación, mostraré una gráfica de curtosis gráfica para algunas distribuciones simétricas, todas centradas en cero y escaladas para tener una varianza 1.
Tenga en cuenta la virtual ausencia de contribución a la curtosis desde el centro, lo que demuestra que la curtosis no tiene mucho que ver con el "pico".
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