Transformación para aumentar la curtosis y la asimetría de la RV normal.

Estoy trabajando en un algoritmo que se basa en el hecho de que las observaciones s se distribuyen normalmente, y me gustaría probar empíricamente la robustez del algoritmo a este supuesto.$Y$

Para hacer esto, yo estaba buscando una secuencia de transformaciones que pueda interrumpir progresivamente la normalidad de Y . Por ejemplo, si las Y s son normales, tienen asimetría = 0 y curtosis = 3 , y sería bueno encontrar una secuencia de transformación que aumente progresivamente ambas.$T_1(), \dots, T_n()$$Y$$Y$$= 0$$= 3$

Mi idea era simular algunos datos normalmente distribuidos aproximadamente y probar el algoritmo en eso. Luego, pruebe el algoritmo en cada conjunto de datos transformado T 1 ( Y ) , ... , T n ( y ) , para ver cuánto está cambiando la salida.$Y$$T_1(Y), \dots, T_n(y)$

Tenga en cuenta que no controlo la distribución de las s simuladas , por lo que no puedo simularlas usando una distribución que generalice lo Normal (como la Distribución de error generalizado sesgado).$Y$

Esto se puede hacer usando la transformación sinh-arcsinh de

Jones, MC y Pewsey A. (2009). Distribuciones sinh-arcsinh . Biometrika 96: 761–780.

La transformación se define como

donde y δ ∈ R + . Cuando esta transformación se aplica al CDF normal S ( x ; ϵ , δ ) = Φ [ H ( x ; ϵ , δ ) ] , produce una distribución unimodal cuyos parámetros ( ϵ , δ ) controlan la asimetría y la curtosis, respectivamente (Jones y Pewsey, 2009), en el sentido de van Zwet (1969) . Además, si ϵ = 0 y $\epsilon \in{\mathbb R}$$\delta \in {\mathbb R}_+$$S(x;\epsilon,\delta)=\Phi[H(x;\epsilon,\delta)]$$(\epsilon,\delta)$$\epsilon=0$ , obtenemos la distribución normal original. Vea el siguiente código R.$\delta=1$

fs = function(x,epsilon,delta) dnorm(sinh(delta*asinh(x)-epsilon))*delta*cosh(delta*asinh(x)-epsilon)/sqrt(1+x^2)

vec = seq(-15,15,0.001)

plot(vec,fs(vec,0,1),type="l")
points(vec,fs(vec,1,1),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,2,1),type="l",col="blue")
points(vec,fs(vec,-1,1),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,-2,1),type="l",col="blue")

vec = seq(-5,5,0.001)

plot(vec,fs(vec,0,0.5),type="l",ylim=c(0,1))
points(vec,fs(vec,0,0.75),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,0,1),type="l",col="blue")
points(vec,fs(vec,0,1.25),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,0,1.5),type="l",col="blue")

Por lo tanto, al elegir una secuencia apropiada de parámetros , puede generar una secuencia de distribuciones / transformaciones con diferentes niveles de asimetría y curtosis y hacer que se vean tan similares o diferentes a la distribución normal como desee.$(\epsilon_n,\delta_n)$

La siguiente gráfica muestra el resultado producido por el código R. Para (i) y δ = 1 , y (ii) ϵ = 0 y δ = ( 0.5 , 0.75 , 1 , 1.25 , 1.5 ) .$\epsilon=(-2,-1,0,1,2)$$\delta=1$ $\epsilon=0$$\delta=(0.5,0.75,1,1.25,1.5)$

La simulación de esta distribución es sencilla dado que solo tiene que transformar una muestra normal usando el inverso de .$(\star)$

Esto se puede hacer usando distribuciones / variables aleatorias Lambert W x F. Una variable aleatoria (RV) Lambert W x F es una X transformada no linealmente (RV) con distribución F.

$\alpha = 1$Gaussianize()

Se implementan en el

Las transformaciones Lambert W x F vienen en 3 sabores:

• type = 's'$\gamma \in R$
• type = 'h'$\delta \geq 0$$\alpha$
• type = 'hh'$\delta_l, \delta_r \geq 0$

Ver referencias en sesgo y cola (s) (Descargo de responsabilidad: soy el autor).

En R puede simular, estimar, trazar, etc. varias distribuciones Lambert W x F con el paquete LambertW .

library(LambertW)
library(RColorBrewer)
# several heavy-tail parameters
delta.v <- seq(0, 2, length = 11)
x.grid <- seq(-5, 5, length = 100)
col.v <- colorRampPalette(c("black", "orange"))(length(delta.v))

plot(x.grid, dnorm(x.grid), lwd = 2, type = "l", col = col.v[1],
     ylab = "")
for (ii in seq_along(delta.v)) {
  lines(x.grid, dLambertW(x.grid, "normal", 
                          theta = list(delta = delta.v[ii], beta = c(0, 1))),
        col = col.v[ii])
}
legend("topleft", paste(delta.v), col = col.v, lty = 1,
       title = "delta = ")

$\gamma$$\delta_l$$\delta_r$

Una de esas secuencias es la exponenciación en varios grados. P.ej

library(moments)
x <- rnorm(1000) #Normal data
x2 <- 2^x #One transformation
x3 <- 2^{x^2} #A stronger transformation
test <- cbind(x, x2, x3) 
apply(test, 2, skewness) #Skewness for the three distributions
apply(test, 2, kurtosis) #Kurtosis for the three distributions

$x^{1.1}, x^{1.2} \dots x^2$

Misma respuesta que @ user10525 pero en python

import numpy as np
from scipy.stats import norm
def sinh_archsinh_transformation(x,epsilon,delta):
    return norm.pdf(np.sinh(delta*np.arcsinh(x)-epsilon))*delta*np.cosh(delta*np.arcsinh(x)-epsilon)/np.sqrt(1+np.power(x,2))


vec = np.arange(start=-15,stop=15+0.001,step=0.001)

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,0,1))
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,1,1),color='red')
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,2,1),color='blue')
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,-1,1),color='red')
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,-2,1),color='blue')

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