¿Distribuciones no normales con asimetría cero y exceso de curtosis cero?

Sobre todo una pregunta teórica. ¿Hay ejemplos de distribuciones no normales que tengan los primeros cuatro momentos iguales a los normales? ¿Podrían existir en teoría?

normal-distribution skewness moments theory kurtosis Egor
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Considerando incluso solo una mezcla de 2 normales (5 parámetros - 2 medias, 2 variaciones y la probabilidad de la mezcla), puede resolver una amplia variedad de los primeros cuatro momentos.

Sheridan Grant

Respuestas:

Sí, los ejemplos con asimetría y exceso de curtosis ambos cero son relativamente fáciles de construir. (De hecho, los ejemplos (a) a (d) a continuación también tienen asimetría media-media de Pearson 0)

(a) Por ejemplo, en esta respuesta se da un ejemplo tomando una mezcla 50-50 de una variante gamma (que llamo $X$ ), y la negativa de una segunda, que tiene una densidad que se ve así:

dgam 2.3

Claramente, el resultado es simétrico y no normal. El parámetro de escala no es importante aquí, por lo que podemos hacerlo 1. La elección cuidadosa del parámetro de forma de la gamma produce la curtosis requerida:

La varianza de este doble gamma ( $Y$ ) es fácil de calcular en términos de la variante gamma en la que se basa: $\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$ .
El cuarto momento central de la variable $Y$ es el mismo que $E(X^4)$ , que para una gamma ( $\alpha$ ) es $\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

Como resultado, la curtosis es $\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$ . Esto es $3$ cuando $(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$ , que ocurre cuando $\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$ .

$U_1\sim U(-1,1)$ $U_2\sim U(-a,a)$ $M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$ $M$ $E(M)=0$

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$ .

Del mismo modo, $E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$ y entonces la curtosis es $\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

$a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$

$X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$ $i=1,2$

$Y$ $\sqrt{X_1}$ $-\sqrt{X_2}$

ingrese la descripción de la imagen aquí

$E(Y)=0$ $E(|Y|)$ ser finito pero dado $E(X_1)$ es finito, tenemos eso)

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

por simetría (y el hecho de que existe el 3er momento absoluto) sesgo = 0

4to momento: $E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

curtosis = $\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

así que cuando $\lambda=\frac12$ , curtosis es 3. Este es el caso ilustrado arriba.

(d) todos mis ejemplos hasta ahora han sido simétricos, ya que las respuestas simétricas son más fáciles de crear, pero también son posibles soluciones asimétricas. Aquí hay un ejemplo discreto.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Como puede ver, ninguno de estos ejemplos parece particularmente "normal". Sería simple hacer cualquier cantidad de variables discretas, continuas o mixtas con las mismas propiedades. Si bien la mayoría de mis ejemplos se construyeron como mezclas, no hay nada especial en las mezclas, aparte de que a menudo son una forma conveniente de hacer distribuciones con propiedades de la manera que desee, un poco como construir cosas con Lego.

Esta respuesta proporciona algunos detalles adicionales sobre la curtosis que deberían aclarar algunas de las consideraciones involucradas en la construcción de otros ejemplos.

Podrías igualar más momentos de manera similar, aunque requiere más esfuerzo hacerlo. Sin embargo, debido a que existe el MGF de lo normal, no puede hacer coincidir todos los momentos enteros de un normal con alguna distribución no normal, ya que eso significaría que sus MGF coinciden, lo que implica que la segunda distribución también fue normal.

Glen_b -Reinstate a Monica
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-4

Glen_b hace buenos puntos. Solo agregaría la consideración de la función Dirac Delta como grano adicional para el molino. Como señala Wikipedia, "El DDF es una función generalizada, o distribución, en la línea de números reales que es cero en todas partes excepto en cero, con una integral de uno sobre toda la línea real" con la consecuencia de que todos los momentos superiores del DDF son cero.

Paul Dirac lo aplica a la mecánica cuántica en su libro de 1931 Los principios de la mecánica cuántica, pero sus orígenes se remontan a Fourier, Lesbesgue, Cauchy y otros. El DDF también tiene análogos físicos para modelar la distribución, por ejemplo, del crack de un bate que golpea una pelota de béisbol.

Mike Hunter
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¿Qué tiene esto que ver con la pregunta?

kjetil b halvorsen 01 de

La pregunta es explícita acerca de hacer que los "primeros cuatro momentos [s] sean iguales a los de [a] normal [distribución]". Ni siquiera tiene la esperanza de igualar el segundo momento central cuando usa una distribución delta.

whuber

Quizás pueda dar un ejemplo en el que combine momentos de una normal estándar (media 0, varianza 1,

E [(X - μ)^{3}] = E (X^{3}) = 0

$E[(X-\mu)^3]=E(X^3)=0$ y

E [(X - μ)^{4}] = E (X^{4}) = 3

$E[(X-\mu)^4]=E(X^4)=3$ ) Si lo hace, responderá las preguntas que se planteen y aclarará su punto.

Glen_b -Reinstate Monica

@UN. Donda: El exceso de curtosis es el cuarto momento estandarizado sobre la media menos 3, es decir

E (X - E X)^{4} / (E (X - E X)^{2})^{2}

$\mathrm{E}(X - \mathrm{E} X)^4 / (\mathrm{E}(X - \mathrm{E} X)^2)^2$ , así que no creo que pueda decir que es -3 en el caso de la función delta de Dirac, sino que no está definida, ya que la varianza es cero.

Scortchi - Restablece a Monica

@Mike Hunter: Creo que las preguntas en el título y el cuerpo son equivalentes: una vez que tiene una distribución con asimetría definida y exceso de curtosis, ambas iguales a cero, la media y la varianza coincidentes con cualquier gaussiano que desee es solo desplazamiento y estiramiento. Destaco definido porque tanto la asimetría como la curtosis son momentos estandarizados, por lo que la función delta de Dirac no los tiene.

Scortchi - Restablece a Monica