¿Fórmula de forma cerrada para la función de distribución, incluyendo asimetría y curtosis?

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¿Existe tal fórmula? Dado un conjunto de datos para el cual se conoce, o puede medirse, la media, la varianza, la asimetría y la curtosis, ¿existe una fórmula única que pueda usarse para calcular la densidad de probabilidad de un valor que se supone proviene de los datos antes mencionados?

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Para cualquier distribución normal (gaussiana), la asimetría es ya que es simétrica, y el exceso de curtosis también es 0 de las propiedades de una distribución normal. Para otras distribuciones, la media, la varianza, la asimetría y la curtosis no son suficientes para definir la distribución, aunque generalmente se pueden encontrar ejemplos. 00
Henry
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@Henry En realidad, en la mayoría -parámetro familias de distribuciones con k ≤ 4 , los cuatro primeros momentos - que puede ser recuperado a partir de la media, la varianza, asimetría, curtosis y - por lo general son suficientes para identificar la distribución. kk≤4
whuber
@whuber: Eso me parece un poco circular: restringir las distribuciones a una familia donde hay cuatro o menos parámetros, sabiendo que cuatro estadísticas de la distribución a menudo identifican los parámetros. Estoy de acuerdo. Pero uno de mis puntos fue esencialmente que sin restricciones existen diferentes posibilidades de distribuciones con densidades de probabilidad sustancialmente variables en puntos particulares, incluso con los mismos primeros cuatro momentos en general.
Henry
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Entiendo a qué te refieres, Henry: con "otras distribuciones" querías decir en un sentido muy general, mientras que mi respuesta lo tomó en el sentido de las distribuciones comúnmente utilizadas en estadística (que rara vez tienen más de cuatro parámetros). Creo que su codicilo - "aunque generalmente se pueden encontrar ejemplos" - puede haber sugerido mi interpretación más restringida.
whuber

Respuestas:

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Hay muchas de esas fórmulas. El primer intento exitoso de resolver precisamente este problema fue realizado por Karl Pearson en 1895, que finalmente condujo al sistema de distribuciones de Pearson . Esta familia puede ser parametrizada por la media, varianza, asimetría y curtosis. Incluye, como casos especiales familiares, las distribuciones Normal, Student-t, Chi-cuadrado, Gamma inversa y F. Kendall y Stuart Vol. 1 dan detalles y ejemplos.

whuber
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Esto suena como un enfoque de "coincidencia de momentos" para ajustar una distribución a los datos. Generalmente se considera que no es una gran idea (el título de la publicación del blog de John Cook es "un callejón sin salida estadístico").

shabbychef
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La prueba K2 de D'Agostino le dirá si una distribución de muestra provino de una distribución normal basada en la asimetría y curtosis de la muestra.

Si desea hacer una prueba suponiendo una distribución no normal (tal vez con un alto sesgo o curtosis), deberá averiguar cuál es la distribución. Puede ver la distribución normal sesgada y la distribución normal generalizada . Si hace esto, también considera otras distribuciones.

Thomas Levine
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