Completar estadística suficiente

Recientemente comencé a estudiar inferencia estadística. He estado trabajando en varios problemas y este me tiene completamente perplejo.

Sea una muestra aleatoria de una distribución discreta que asigna con probabilidad los valores , donde es un número entero. Demuestre que no existe una estadística completa suficiente. $X_1,\dots,X_n$ $\frac{1}{3}$ $\theta-1,\space\theta,\space\text{or}\space\theta+1$ $\theta$

¿Algunas ideas?

self-study mathematical-statistics inference discrete-data Tony
fuente

¿Qué tienes hasta ahora?

gung - Restablece a Monica

Puedo escribir la probabilidad como:

(\frac{1}{3})^{n}

$(\frac{1}{3})^n$ veces el producto del indicador funciona que cada observación es igual a

θ - 1, θ, or θ + 1

$\theta-1,\space\theta,\space\text{or}\space\theta+1$ . A partir de esto, parece que la estadística suficiente es la estadística de pedidos. He estado pensando en esto durante días, es como nada que haya visto antes.

Tony

¿Qué sabes sobre la integridad?

Glen_b: reinstala a Monica el

Una estadística,

T

$T$ , se completa si cumple la condición de que, para alguna función

g (T)

$g(T)$ , Si

E [g (T)] = 0

$E[g(T)]=0$ , entonces

g (T) = 0

$g(T)=0$

a . e .

$a.e.$

Tony

Por lo tanto, debe encontrar un contraejemplo ... ¿qué estadística claramente auxiliar puede encontrar de la muestra mínima y máxima?

Scortchi - Restablece a Monica

Respuestas:

(1) Mostrar que para un tamaño de muestra $n$ , $T=\left(X_{(1)}, X_{(n)}\right)$ , dónde $X_{(1)}$ es la muestra mínima y $X_{(n)}$ La muestra máxima es mínima suficiente.

(2) Encuentre la distribución de muestreo del rango $R=X_{(n)}-X_{(1)}$ y de ahí su expectativa . Será una función de solamente, no de (que es lo importante, y que tal vez pueda mostrar sin especificarlo exactamente). $\newcommand{\E}{\operatorname{E}}\E R$ $n$ $\theta$

(3) Entonces simplemente deje que . No es una función de , y su expectativa es cero; sin embargo, ciertamente no es igual a cero: por lo tanto, no está completo. Como es mínimamente suficiente, se deduce del teorema de Bahadur que no se completa una estadística suficiente. $g(T)=R-\E R$ $\theta$ $T$ $T$

Scortchi - Restablece a Monica
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¿Podría dar una referencia para el teorema de Bahadur donde dice que si una estadística mínima suficiente no está completa, entonces no existe una estadística completa suficiente? Estaba buscando este resultado, pero no pude encontrarlo en ningún lado.

StubbornAtom

@StubbornAtom: el teorema de Bahadur establece que si una estadística se completa es lo suficientemente mínima (siempre que exista una estadística mínima suficiente). Entonces, una vez que demuestre que existe una estadística mínima suficiente y que está incompleta, no necesita preocuparse por la posibilidad de completar estadísticas suficientes no mínimas. (O, por supuesto, sobre la posibilidad de otras estadísticas completas mínimas suficientes: todas son funciones individuales entre sí.)

Scortchi - Restablece a Monica

Pensando en ello, hubiera sido más simple decir que

T

$T$ , siendo lo suficientemente mínimo, es alguna función

f (\cdot)

$f(\cdot)$ de cualquier estadística suficiente

S

$S$ , & por lo tanto

g (T) = g (f (S))

$g(T)=g(f(S))$ también va a mostrar lo incompleto de

S

$S$ .

Scortchi - Restablece a Monica