Con un previo plano, coinciden los estimadores ML (frecuentista - máxima verosimilitud) y MAP (Bayesiano - máximo a posteriori).
Sin embargo, en términos más generales, estoy hablando de estimadores puntuales derivados como optimizadores de alguna función de pérdida. Es decir
(Bayesiano) x (
donde es el operador de expectativa, L es la función de pérdida (minimizado en cero), x ( y ) es el estimador, dados los datos y , del parámetro x , y variables aleatorias se indican con letras mayúsculas.
¿Alguien sabe alguna condición sobre , el pdf de x e y , linealidad impuesta y / o imparcialidad, donde los estimadores coincidirán?
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Como se señaló en los comentarios, se requiere un requisito de imparcialidad, como la imparcialidad, para que el problema frecuente sea significativo. Los antecedentes planos también pueden ser una característica común.
Además de las discusiones generales proporcionadas por algunas de las respuestas, la pregunta es realmente también acerca de proporcionar ejemplos reales . Creo que uno importante proviene de la regresión lineal:
- los es el (AZUL teorema de Gauss-Markov ), es decir, que reduce al mínimo el MSE frequentist entre estimadores lineal-imparciales.
- si es gaussiana y la anterior es plana, x = ( D ' D ) - 1 D ' y es el "posterior" medios minimiza la pérdida media bayesiano para cualquier función de pérdida convexa.
Aquí, parece ser conocida como matriz de datos / diseño en la jerga frecuentista / bayesiana, respectivamente.
Respuestas:
La pregunta es interesante pero algo desesperada a menos que se haga precisa la noción de estimador frecuentista . Definitivamente no es la establecida en la pregunta x ( ya que la respuesta a la minimización X ( Y ) = x para todos y Es tan cabo en punta enla respuesta de Programmer2134. La cuestión fundamental es que no existe un estimador frecuentista único para un problema de estimación, sin introducir restricciones suplementarias o clases de estimadores. Sin ellos, todos los estimadores de Bayes son también estimadores frecuentistas.
Como se señaló en los comentarios, la imparcialidad puede ser una limitación, en cuyo caso se excluyen los estimadores de Bayes. Pero esta noción frecuentista choca con otras nociones frecuentistas como
Además, la imparcialidad solo se aplica a una clase restringida de problemas de estimación. Con esto, quiero decir que la clase de estimadores insesgados de cierto parámetro o de una transformada h ( θ ) está casi siempre vacía.θ h(θ)
Hablando de admisibilidad, otra noción frecuentista, existen escenarios para los cuales los únicos estimadores admisibles son los estimadores de Bayes y viceversa. Este tipo de ajustes se relaciona con los teoremas de clase completos establecidos por Abraham Wald en la década de 1950. (Lo mismo se aplica a los mejores estimadores invariantes que son Bayes bajo la medida adecuada de Haar correcta).
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En general, los estimadores frecuentistas y bayesianos no coinciden, a menos que use un plano degenerado antes. La razón principal es esta: los estimadores frecuentes a menudo se esfuerzan por ser imparciales. Por ejemplo, los frecuentistas a menudo intentan encontrar el estimador imparcial de varianza mínima ( http://en.wikipedia.org/wiki/Minimum-variance_unighteous_estimator ). Mientras tanto, todos los estimadores de Bayes no degenerados están sesgados (en el sentido frecuente de sesgo). Ver, por ejemplo, http://www.stat.washington.edu/~hoff/courses/581/LectureNotes/bayes.pdf , Teorema 5.
Para resumir: la mayoría de los estimadores frecuentistas populares se esfuerzan por ser imparciales, mientras que todos los estimadores Bayes están sesgados. Por lo tanto, Bayes y los estimadores frecuentistas rara vez coinciden.
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Puede que no exista una respuesta a esta pregunta.
Una alternativa podría ser pedir métodos para determinar las dos estimaciones de manera eficiente para cualquier problema en cuestión. Los métodos bayesianos están bastante cerca de este ideal. Sin embargo, a pesar de que los métodos minimax podrían usarse para determinar la estimación puntual frecuentista, en general, la aplicación del método minimax sigue siendo difícil y no suele usarse en la práctica.
Otra alternativa sería reformular la pregunta sobre las condiciones bajo las cuales los estimadores bayesianos y frecuentistas proporcionan resultados "consistentes" e intentan identificar métodos para calcular esos estimadores de manera eficiente. Aquí "consistente" se da a entender que los estimadores bayesianos y frecuentistas se derivan de una teoría común y que se utiliza el mismo criterio de optimización para ambos estimadores. Esto es muy diferente de tratar de oponerse a las estadísticas bayesianas y frecuentistas, y puede hacer que la pregunta anterior sea superflua. Un enfoque posible es apuntar, tanto para el caso frecuentista como para el caso bayesiano, a conjuntos de decisiones que minimicen la pérdida para un tamaño dado, es decir, según lo propuesto por
Schafer, Chad M y Philip B Stark. "Construyendo regiones de confianza del tamaño óptimo esperado". Revista de la Asociación Americana de Estadística 104.487 (2009): 1080-1089.
Resulta que esto es posible, tanto para el caso frecuentista como para el bayesiano, al incluir por preferencia observaciones y parámetros con gran información mutua puntual. Los conjuntos de decisiones no serán idénticos, ya que la pregunta que se hace es diferente:
Sin embargo, los conjuntos se superpondrán en gran medida y se volverán idénticos en algunas situaciones, si se utilizan anteriores planos. La idea se discute con más detalle junto con una impedancia eficiente en
Bartels, Christian (2015): Confianza genérica y consistente y regiones creíbles. higo compartido. https://doi.org/10.6084/m9.figshare.1528163
Para los antecedentes informativos, los conjuntos de decisiones se desvían más (como se sabe comúnmente y se señaló en la pregunta y en las respuestas anteriores). Sin embargo, dentro del marco coherente, se obtienen pruebas frecuentas, que garantizan la cobertura frecuentista deseada, pero tienen en cuenta los conocimientos previos.
Bartels, Christian (2017): Uso de conocimientos previos en pruebas frecuentistas. higo compartido. https://doi.org/10.6084/m9.figshare.4819597
Los métodos propuestos aún carecen de una implementación eficiente de la marginaización.
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