¿Cómo se aproxima la distribución muestral de medias muestrales a la media poblacional?

Estoy tratando de aprender estadísticas porque encuentro que es tan frecuente que me prohíbe aprender algunas cosas si no las entiendo correctamente. Tengo problemas para entender esta noción de una distribución de muestreo de las medias muestrales. No puedo entender la forma en que algunos libros y sitios lo han explicado. Creo que tengo un entendimiento, pero no estoy seguro si es correcto. A continuación está mi intento de entenderlo.

Cuando hablamos de algún fenómeno que tiene una distribución normal, generalmente (no siempre) concierne a la población.

Queremos usar estadísticas inferenciales para predecir algunas cosas sobre alguna población, pero no tenemos todos los datos. Usamos muestreo aleatorio y cada muestra de tamaño n tiene la misma probabilidad de ser seleccionada.

Entonces tomamos muchas muestras, digamos 100 y luego la distribución de las medias de esas muestras será aproximadamente normal de acuerdo con el teorema del límite central. La media de las medias muestrales se aproximará a la media poblacional.

Ahora, lo que no entiendo es que muchas veces ves "Una muestra de 100 personas ..." ¿No necesitaríamos 10s o 100s de muestras de 100 personas para aproximarnos a la población de la media? ¿O es el caso de que podemos tomar una sola muestra que sea lo suficientemente grande, digamos 1000 y luego decir que la media se aproximará a la media de la población? ¿O tomamos una muestra de 1000 personas y luego tomamos 100 muestras aleatorias de 100 personas en cada muestra de las 1000 personas originales que tomamos y luego usamos eso como nuestra aproximación?

¿Tomar una muestra lo suficientemente grande como para aproximar la media (casi) siempre funciona? ¿Es necesario que la población sea normal para que esto funcione?

Creo que podría estar confundiendo la distribución de muestreo esperada de una media (que calcularíamos en base a una sola muestra) con el proceso (generalmente hipotético) de simular lo que sucedería si muestreamos repetidamente de la misma población varias veces.

Para cualquier tamaño de muestra dado (incluso n = 2), diríamos que la media de la muestra (de las dos personas) estima la media de la población. Pero la precisión de la estimación, es decir, cuán bueno es el trabajo que hemos hecho de estimar la media de la población en función de nuestros datos de muestra, como se refleja en el error estándar de la media, será peor que si tuviéramos un 20 o 200 personas en nuestra muestra. Esto es relativamente intuitivo (las muestras más grandes dan una mejor precisión de estimación).

Luego usaríamos el error estándar para calcular un intervalo de confianza, que (en este caso) se basa en la distribución Normal (probablemente usaríamos la distribución t en muestras pequeñas, ya que la desviación estándar de la población a menudo se subestima en un muestra pequeña, que conduce a errores estándar demasiado optimistas).

En respuesta a su última pregunta, no, no siempre necesitamos una población normalmente distribuida para aplicar estos métodos de estimación; el teorema del límite central indica que la distribución muestral de una media (estimada, nuevamente, a partir de una sola muestra) tenderá a seguir una distribución normal incluso cuando la población subyacente tiene una distribución no normal. Esto suele ser apropiado para muestras "más grandes".

Dicho esto, cuando tiene una población no normal de la que está tomando muestras, la media podría no ser una estadística de resumen apropiada, incluso si la distribución de muestreo para esa media pudiera considerarse confiable.

• $\sigma^2/n$$n$$n$
• Si toma varias muestras independientes, cada media de la muestra será normal, y la media de las medias será normal y tenderá a la media verdadera.
• Si sus muestras son realmente de la misma distribución (por ejemplo, 100 muestras de 10 cada una), hará las mismas inferencias que si tomara una muestra grande de 1000. (Pero en el mundo real, las muestras distintas probablemente difieren en las formas en que uno no se puede ignorar; ver "diseño de bloques al azar".)
• $n$ , más cerca estará de la normalidad.
• Si toma 100 muestras de 10 cada una, las medias muestrales tendrán una distribución que tendrá una apariencia más normal que los datos originales, pero menos normal que la distribución de la media general.
• Tomar una gran muestra también lo acercará a la normalidad.
• Si desea estimar la media de la población, no hay diferencia (en teoría) si toma una muestra grande de 1000 o 100 muestras de 10.
• Pero en la práctica, las personas con teoría de muestreo pueden dividir la muestra por razones de agrupamiento, estratificación y otros problemas. Luego toman en cuenta el esquema de muestreo al hacer su estimación. Pero eso es realmente importante para otra pregunta.

La distribución muestral de la media es la distribución de TODAS las muestras de un tamaño dado. La media de la muestra dist es igual a la media de la población. Cuando hablamos de muestreo dist de media para muestras de un tamaño dado, no estamos hablando de una muestra o incluso de miles de muestras sino de todas las muestras.

El dist de muestreo de la media no tiene nada que ver con los intervalos de confianza. Ese es otro concepto. Para la muestra dist, la población puede ser normal o no normal a) Si pop es normal, entonces la muestra dist de la media será normal para cualquier tamaño de muestra. b) Si el pop no es normal, entonces 1) la distancia de muestreo de la media NO PUEDE considerarse normal, a menos que el tamaño de la muestra sea 30 o más. Luego, el Teorema del límite central nos dice que el dist de muestreo puede considerarse normal.

Hablas de predecir. Predecir tampoco tiene nada que ver con esto. Está insertando demasiado en samp dist. La muestra dist es simplemente Todas las muestras y luego se toma la media. Y la media de todas estas muestras, mu sub x bar, es igual a la media de la población, mu y estándar dev od muestra dist, sigma sub x bar = sigma dividido por la raíz cuadrada de n. (No hablaremos sobre el factor de corrección de pop finito. Tome su estadística como valor nominal. No lea demasiado en un concepto. Puño entienda el concepto básico.

PS La muestra dist de mean no tiene nada que hacer abput pr

He estado pensando en problemas de big data y he visto algunas de estas publicaciones esta mañana. No creo que este sea un problema trivial en absoluto, con respecto a la diferencia entre analizar los 1000 datos como un conjunto en comparación con el análisis de 10 conjuntos de 100. En teoría , si la hipótesis nula es cierta de que los datos son id, no tiene sentido diferencia. Sin embargo, la agrupación y los patrones en los datos no se abordan en absoluto si uno simplemente toma la media de los 1000 datos y cita la media estimada y el error estándar asociado.

La conclusión a la que he llegado, mirando algunas páginas en stackexchange y wikipedia, es que los grandes datos permiten ver lo obvio . Si hay algunas características interesantes en la población en su conjunto, un conjunto de datos grandes los mostraría claros como el día. Entonces, si tuviera un conjunto de datos muy grande, que pudiera ver visualmente, no intervendría y tomaría breves medidas de resumen sin buscar primero características muy obvias. Desde mis primeras lecciones en inferencia estadística, me enseñaron a mirar gráficos y visualizaciones de los datos como primer paso. No puedo enfatizar eso lo suficiente. Si el conjunto de datos es demasiado grande para que un humano lo vea en una pantalla, entonces debe submuestrearse a una resolución que sea legible para humanos.