¿Qué tiene de malo mi prueba de la Ley de la varianza total?

De acuerdo con la Ley de Variación Total,

$$\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) + \operatorname{Var}(\operatorname{E}(X\mid Y))$$

Cuando trato de demostrarlo, escribo

$$\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left\{\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right\} \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned} \end{equation}$$

¿Qué tiene de malo?

La tercera línea está mal, porque no tiene en la segunda línea. Por ejemplo, si es Bernoulli (1/2) y es 1 si es 1 y -1 si es 0, entonces (esto es lo que quieres) porque es totalmente informativo de , pero lo que tienes te dará .$\text{E}[X|Y]$$Y$$X$$Y$$Y$$\text{E}[(X-\text{E}[X|Y])^2|Y] = 0$$Y$$X$$\text{E}[(X-\text{E}[X])^2|Y] = \text{E}[(X-0)^2|Y] = \text{E}[X^2|Y] = 1 \ne 0$

No voy a mentir, me hiciste cuestionarme a mí mismo y tuve que mirar esto por un momento antes de que me golpeara a pesar de que tuve que probarme LOTV mil millones de veces: P

La transición de la segunda a la tercera línea no sigue. Como tiene:$\mathbb{E}(X) \neq \mathbb{E}(X|Y)$

$$\mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X))^2 | Y ] \neq \mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X|Y))^2 | Y ] = \mathbb{E}[ \mathbb{V}(X|Y) ].$$

En el caso especial donde para todos su trabajo y resultado se mantendrían, y sería un caso especial de El resultado más general.$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(X|Y=y)$$y \in \mathbb{R}$

$$\require{cancel} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left(\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right) \\ &\ne \operatorname E\left( \operatorname E\left[ (X-\operatorname E(X\mid Y))^2 \right] \mid Y \right) \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned}$$