Distribución de suma de exponenciales

Deje que y sean variables aleatorias exponenciales independientes y distribuidas idénticamente con rate . Deje .$X_1$$X_2$$\lambda$$S_2 = X_1 + X_2$

P: Muestre que tiene PDF .$S_2$$f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x},\, x\ge 0$

Tenga en cuenta que si los eventos ocurrieron de acuerdo con un Proceso de Poisson (PP) con tasa , representaría la hora del segundo evento.$\lambda$$S_2$

Se aprecian enfoques alternativos. Los enfoques proporcionados se usan comúnmente al aprender la teoría de colas y los procesos estocásticos.

Recordemos que la distribución exponencial es un caso especial de la distribución Gamma (con el parámetro de forma ). He aprendido que hay una versión más general de este aquí que se puede aplicar.$1$

Condición de aproximación
condicionante sobre el valor de . Comience con la función de distribución acumulativa (CDF) para . $X_1$$S_2$

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= \int_0^\infty P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)f_{X_1}(x_1)dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_2 \le x - x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x\left(1-\text{e}^{-\lambda(x-x_1)}\right)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1\\ &=(1-e^{-\lambda x}) - \lambda x e^{-\lambda x}\end{align}$

Este es el CDF de la distribución. Para obtener el PDF, diferencie con respecto a ( ver aquí ).$x$

Esta es una distribución Erlang (ver aquí) .$(2,\lambda)$

Enfoque general
Integración directa basada en la independencia de y . Nuevamente, comience con la función de distribución acumulativa (CDF) para . $X_1$$X_2$$S_2$

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= P\left( (X_1,X_2)\in A \right) \quad \quad \text{(See figure below)}\\ &= \int\int_{(x_1,x_2)\in A} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)dx_1 dx_2 \\ &(\text{Joint distribution is the product of marginals by independence}) \\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)dx_1 dx_2\\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} \lambda \text{e}^{-\lambda x_1}\lambda \text{e}^{-\lambda x_2}dx_1 dx_2\\ \end{align}$

Como se trata del CDF, la diferenciación da el PDF,$f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x} \quad\square$

Enfoque de MGF
Este enfoque utiliza la función de generación de momento (MGF).

$\begin{align} M_{S_2}(t) &= \text{E}\left[\text{e}^{t S_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t(X_1 + X_2)}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1 + t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1} \text{e}^{t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1}\right]\text{E}\left[\text{e}^{t X_2}\right] \quad \text{(by independence)} \\ &= M_{X_1}(t)M_{X_2}(t) \\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right) \quad \quad t<\lambda\\ &= \frac{\lambda^2}{(\lambda-t)^2} \quad \quad t<\lambda \end{align}$

Si bien esto puede no producir el PDF, una vez que el MGF coincide con el de una distribución conocida, también se conoce el PDF.