¿Cuál es el valor esperado del logaritmo de distribución gamma?

Si el valor esperado de es , ¿cuál es el valor esperado de ? ¿Se puede calcular analíticamente?$\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$$\frac{\alpha}{\beta}$$\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

La parametrización que estoy usando es la tasa de forma.

Este (tal vez sorprendentemente) se puede hacer con operaciones elementales fáciles (empleando el truco favorito de Richard Feynman de diferenciar bajo el signo integral con respecto a un parámetro).

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Suponemos que tiene una distribución y deseamos encontrar la expectativa de Primero, porque es un parámetro de escala, su efecto será cambiar el logaritmo por (Si usa como parámetro de velocidad , como en la pregunta, cambiará el logaritmo por ) Esto nos permite trabajar con el caso$X$$\Gamma(\alpha,\beta)$$Y=\log(X).$$\beta$log β . β - log β . β = 1.$\log\beta.$$\beta$$-\log\beta.$$\beta=1.$

Después de esta simplificación, el elemento de probabilidad de es$X$

$$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$$

donde es la constante de normalización$\Gamma(\alpha)$

$$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$$

Sustituyendo que implica obtiene el elemento de probabilidad de ,$x=e^y,$$\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$$Y$

$$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$$

Los valores posibles de ahora se extienden sobre todos los números reales$Y$$\mathbb{R}.$

Debido a que debe integrarse a la unidad, obtenemos (trivialmente)$f_Y$

$$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$$

Observe que es una función diferenciable deUn cálculo fácil da$f_Y(y)$$\alpha.$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$$

El siguiente paso explota la relación obtenida dividiendo ambos lados de esta identidad por exponiendo así el mismo objeto que necesitamos integrar para encontrar la expectativa; a saber,$\Gamma(\alpha),$$y f_Y(y):$

$$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$$

La derivada logarítmica de la función gamma (también conocida como " poligamia "). La integral se calculó utilizando la identidad$(1).$

Reintroducir el factor muestra que el resultado general es$\beta$

$$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$$

para una parametrización de escala (donde la función de densidad depende de ) o$x/\beta$

$$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$$

para una parametrización de velocidad (donde la función de densidad depende de ).$x\beta$

La respuesta de @whuber es bastante agradable; Esencialmente, volveré a exponer su respuesta en una forma más general que se conecte (en mi opinión) mejor con la teoría estadística, y que aclare el poder de la técnica general.

Considere una familia de distribuciones que constituyen una familia exponencial , lo que significa que admiten una densidad con respecto a alguna medida dominante común (generalmente, Lebesgue o medida de conteo). Al diferenciar ambos lados de con respecto a , llegamos a la ecuación de puntaje donde es la función de puntuación$\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$

$$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$$
$$\int f_\theta(x) \ dx = 1$$ $\theta$ $$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$$ $u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$y hemos definido . En el caso de una familia exponencial, tenemos donde ; esto a veces se denomina función acumulativa , ya que evidentemente está muy relacionada con la función generadora de acumulante. Ahora se deduce de que .$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$ $$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$$ $A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$$(\dagger)$$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$

Ahora mostramos que esto nos ayuda a calcular la expectativa requerida. Podemos escribir la densidad gamma con fijo como una familia exponencial Esta es una familia exponencial en sola con y . Ahora sigue inmediatamente calculando que $\beta$

$$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$$ $\alpha$$s(x) = \log x$$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$ $$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$$