¿Por qué se llama así el valor esperado?

Entiendo cómo obtenemos 3.5 como el valor esperado para lanzar un dado de 6 lados. Pero intuitivamente, puedo esperar que cada cara tenga la misma probabilidad de 1/6.

Entonces, ¿no debería ser el valor esperado de lanzar un dado cualquiera de los números entre 1-6 con igual probabilidad?

En otras palabras, cuando se le hace la pregunta "¿cuál es el valor esperado de lanzar un dado de 6 lados?", Uno debe responder "oh, puede ser cualquier cosa entre 1-6 con la misma oportunidad". En cambio, es 3.5.
Intuitivamente en el mundo real, ¿alguien puede explicar cómo 3.5 es el valor que debería esperar al lanzar un dado?
Nuevamente, no quiero la fórmula o la derivación para la expectativa.

Imagine que está en París en 1654 y que usted y su amigo están observando un juego de apuestas basado en el lanzamiento secuencial de un dado de seis lados. Ahora, el juego es muy ilegal y los bustos del gendarme son bastante frecuentes, y ser atrapado en una mesa con montones de vida es casi seguro garantizar una larga temporada en el Chateau d'If.

Para evitar esto, usted y su amigo tienen un acuerdo entre caballeros sobre una apuesta hecha entre dos de ustedes antes de la última tirada. Él acepta pagarle cinco libras si observa dos seis en los siguientes cinco lanzamientos de dados, y usted acepta pagarle la misma cantidad si se lanzan dos, sin ninguna otra acción si estas combinaciones no aparecen.

Ahora, el último dado es un seis, por lo que estás en el borde de tu asiento, en sentido figurado. En este momento, guardias fuertemente armados irrumpieron en la guarida y arrestaron a todos en la mesa, y la multitud se dispersó.

Tu amigo cree que la apuesta hecha entre ustedes dos ahora está invalidada. Sin embargo, usted cree que él debería pagarle una cantidad ya que un seis ya había sido rodado. ¿Cuál es una manera justa de resolver esta disputa entre ustedes dos?

(Esta es mi interpretación de los orígenes del valor esperado tal como se presenta aquí y se analiza con mayor detalle aquí )

Respondamos a esta pregunta de valor razonable de una manera no rigurosa. El monto que su amigo debe pagarle puede calcularse de la siguiente manera. Considere todas las tiradas posibles de cuatro dados. Algunos juegos de rollos (es decir, aquellos que contienen al menos un seis) harán que su amigo pague la cantidad acordada. Sin embargo, en otros conjuntos (es decir, aquellos que no contienen un solo seis) resultará en que no reciba dinero. ¿Cómo equilibra la posibilidad de que ocurran estos dos tipos de rollos? Simple, promedie la cantidad que le habrían pagado por TODOS los rollos posibles.

Sin embargo, tu amigo, (bastante improbable), ¡aún puede ganar su apuesta! Debe tener en cuenta la cantidad de veces que se lanzarán dos en los cuatro dados restantes, y promedie la cantidad que le pagará sobre el número de todas las tiradas posibles de cuatro dados. Esta es la cantidad justa que debe pagar a su amigo por su apuesta. Por lo tanto, la cantidad que termina obteniendo es la cantidad que su amigo debería pagarle, menos lo que debe pagarle a su amigo.

Por eso lo llamamos el "valor esperado". Es la cantidad promedio que espera recibir si puede simular un evento que ocurre en múltiples universos simultáneos.

Excelente pregunta Es más sutil de lo que parece al principio. Tiene que ver con el evento aleatorio y la variable aleatoria (número, valor). Su confusión proviene de mezclar estos dos conceptos relacionados pero distintos.

Comencemos con un evento. Por la forma en que formuló su pregunta, parece que considera el resultado de un evento de lanzamiento de dados. Es aleatorio, por lo que puede obtener uno de sus seis lados con la misma probabilidad, como escribió. Tiene un sentido perfecto.

¿Cuál es el valor esperado de este experimento? Las expectativas se definen para variables aleatorias (valores) no eventos. Para usted, los números del 1 al 6 en los dados son simplemente las formas de distinguir sus lados (en el contexto de la formulación de su pregunta). Imagine que en su lugar usa letras: A, B, C, D, E y F. Reemplace los números con letras y repita su pregunta de la siguiente manera:

En otras palabras, cuando se hace la pregunta "¿cuál es el valor esperado de lanzar un dado de 6 lados?", Uno debe responder "oh, puede ser cualquier cosa entre A y F con la misma oportunidad"

Ahora trate de llegar a un valor esperado. ¡No está definido!

Las expectativas se muestran cuando define los valores aleatorios, como 1 a 6. Usted asigna los valores al espacio del evento, por ejemplo, define que el lado A es 1, el lado B es 2, etc. Ahora tiene 6 números y puede calcule la expectativa, que resulta ser 3.5.

"Cada uno de los valores igualmente probables" o "algún valor más probable" es la definición del modo, no el valor esperado.

Imagina que estamos jugando un juego de lanzar monedas. Cada vez que lanzo caras, te doy 1 $ , cada vez que lanzo colas, me das 1 $ . ¿Cuánto dinero esperarías ganar o perder a largo plazo ? Las cantidades son iguales, las probabilidades de lanzarlas son iguales, el valor esperado es cero.

El valor esperado se llama así porque si promedia todas las tiradas de dados, espera obtener este valor esperado a largo plazo . El valor esperado no está relacionado con ninguna tirada de dados.

Desde un punto de vista histórico, el concepto parecía aparecer en diferentes países, por lo que consideraría el uso de esta palabra como una convergencia conveniente entre conceptos similares en todos los idiomas.

Mi punto de partida fueron los excelentes usos anteriores de los símbolos en probabilidad y estadística :

Expectativa. Se usó un gran guión E para la expectativa en el conocido libro de texto Choice and Chance de WA Whitworth (quinta edición) de 1901, pero ni el símbolo ni el cálculo de las expectativas se establecieron en la literatura inglesa hasta mucho más tarde. Por ejemplo, Rietz Mathematical Statistics (1927) usó el símbolo E y comentó que "el valor esperado de la variable es un concepto que ha sido muy utilizado por varios escritores europeos continentales ..." Para los escritores europeos continentales E significaba "Erwartung" o " espérance (nota del editor: matemática) ".

El término a veces se "atribuye a" Huyghens, que se discute en Fundamentos de probabilidad de Huygens :

En general, se acepta que Huygens basó la probabilidad en la expectativa. Sin embargo, el término "expectativa" se deriva de la traducción al latín de Van-Schooten del tratado de Huygens. Una traducción literal del texto holandés de Huygens muestra más claramente lo que Huygens realmente quiso decir y cómo procedió.

Se pueden encontrar detalles adicionales con respecto a Fermat, Pascal en Expectativa y los primeros probabilistas .

Curiosamente, el concepto más general que el valor esperado es la ubicación . Por lo tanto, el concepto de valor esperado tiene implicaciones sutiles que son algo confusas.

$\leq 3$$\$1$$\geq 4$ pierde $ 1, funciona tan bien como un promedio, con la ventaja de tener resultados en este universo.

La razón de la asociación excesivamente restringida entre el término "valor esperado" y "valor medio" parece ser histórica más que semánticamente correcta, o incluso particularmente convincente. Es decir, el contexto en el que un valor esperado calculado es consistente, la expectativa de una ubicación que caracteriza el comportamiento en un conjunto de datos se limita solo a ciertas distribuciones de datos, y no a otras.

$f$ aplica es por lo tanto rastreable a Chebyshev 1887. Tal es la fuerza del teorema del límite central que se convirtió en una expresión entre paréntesis para asociar el valor esperado con un valor medio, en oposición a una medida más general de ubicación.

Pero, ¿qué pasa con las distribuciones de datos que no son normales para las cuales otras medidas son más estables y / o más representativas de esos datos? Por ejemplo, el valor de rango medio o el valor extremo promedio de los datos de una distribución uniforme es más preciso y estable, es decir, preciso y converge más rápido que la media o mediana de esa distribución. Para distribuciones logarítmicas normales, por ejemplo, (gran parte del tratamiento de) los datos de ingresos, el anti-logaritmo de la media del logaritmo de datos ( media geométrica AKA$\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$$\alpha \leq 1$$\alpha \leq 1$$\alpha \gt 1$