Voy a comenzar diciendo que este es un problema de tarea sacado directamente del libro. He pasado un par de horas buscando cómo encontrar los valores esperados, y he determinado que no entiendo nada.

Deje que tenga el CDF . Encuentre E ( X ) para aquellos valores de α para los cuales E ( X ) existe.$X$$F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$
$E(X)$$\alpha$$E(X)$

No tengo idea de cómo comenzar esto. ¿Cómo puedo determinar qué valores de $\alpha$ existen? Tampoco sé qué hacer con el CDF (supongo que esto significa Función de distribución acumulativa). Existen fórmulas para encontrar el valor esperado cuando tiene una función de frecuencia o una función de densidad. Wikipedia dice que el CDF de $X$ se puede definir en términos de la función de densidad de probabilidad $f$ siguiente manera:

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

Esto es lo más lejos que llegué. ¿A donde voy desde aqui?

EDITAR: quise poner $x\ge1$ .

Editado para el comentario de probabilistico

Tenga en cuenta que $F(1)=0$ en este caso, por lo que la distribución tiene una probabilidad $0$ de ser menor que $1$ , entonces $x \ge 1$ , y también necesitará $\alpha > 0$ para un cdf creciente.

Si tiene el cdf, entonces quiere el anti-integral o derivado que con una distribución continua como esta

$$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$$

y en reversa para x ≥ 1 .$F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$$x \ge 1$

Luego, para encontrar la expectativa que necesitas encontrar

$$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$$

siempre que esto exista. Te dejaré el cálculo.

El uso de la función de densidad no es necesario

Integrar 1 menos el CDF

Cuando tienes una variable aleatoria $X$ que tiene un soporte que no es negativo (es decir, la variable tiene densidad / probabilidad distinta de cero solo para valores positivos), puede usar la siguiente propiedad:

$$E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x$$

Una propiedad similar se aplica en el caso de una variable aleatoria discreta.

Prueba

Dado que ,$1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$

$$\int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x$$

Luego cambie el orden de integración:

$$= \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t$$

Reconociendo que es una variable ficticia, o tomando la sustitución simple t = x y d t = d x ,$t$$t=x$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$

$$= \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X)$$

Atribución

He utilizado las fórmulas para casos especiales sección del Valor esperado artículo sobre Wikipedia para refrescar mi memoria en la prueba. Esa sección también contiene pruebas para el caso de variable aleatoria discreta y también para el caso de que no exista una función de densidad.

$k$$X$

$x\geq 1$$F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$ .

Lo que "sabes" sobre los CDF es que eventualmente se acercan a cero como argumento $x$ disminuye sin límite y eventualmente se acerca a uno como $x \to \infty$. Tampoco son decrecientes, por lo que esto significa$0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$ para todos $y\leq x$.

Entonces, si conectamos el CDF obtenemos:

$$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$$

From this we conclude that the support for $x$ is $x\geq 1$. Now we also require $\lim_{x\to\infty} F(x)=1$ which implies that $\alpha>0$

To work out what values the expectation exists, we require:

$$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$$

And this last expression shows that for $E(X)$ to exist, we must have $-\alpha<-1$, which in turn implies $\alpha>1$. This can easily be extended to determine the values of $\alpha$ for which the $r$'th raw moment $E(X^{r})$ exists.

The Answer requiring change of order is unnecessarily ugly. Here's a more elegant 2 line proof.

$\int udv = uv - \int vdu$

Now take $du = dx$ and $v = 1- F(x)$

$\int_{0}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= 0 + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= \mathbb{E}[X] \qquad \blacksquare$