Prueba de que las funciones generadoras de momento determinan de manera única las distribuciones de probabilidad

El texto de Wackerly et al establece este teorema "Sea $m_x(t)$ y las funciones generadoras de momento de las variables aleatorias X e Y, respectivamente. Si existen ambas funciones generadoras de momento y para todos los valores de t, entonces X e Y tienen la misma distribución de probabilidad ". sin una prueba que diga que está más allá del alcance del texto. Scheaffer Young también tiene el mismo teorema sin una prueba. No tengo una copia de Casella, pero la búsqueda de libros de Google no parece encontrar el teorema en ella.$m_y(t)$$m_x(t) = m_y(t)$

El texto de Gut parece tener un resumen de una prueba , pero no hace referencia a los "resultados conocidos" y también requiere conocer otro resultado cuya prueba tampoco se proporciona.

¿Alguien sabe quién demostró esto originalmente y si la prueba está disponible en línea en cualquier lugar? De lo contrario, ¿cómo podría uno completar los detalles de esta prueba?

En caso de que me pregunten no, esta no es una pregunta de tarea, pero me imagino que posiblemente sea la tarea de alguien. Tomé una secuencia de curso basada en el texto de Wackerly y me he quedado preguntándome acerca de esta prueba por algún tiempo. Así que pensé que era hora de preguntar.

La prueba general de esto se puede encontrar en Feller (Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, Vol. 2) . Es un problema de inversión que involucra la teoría de la transformación de Laplace. ¿Notó que el mgf tiene un parecido sorprendente con la transformación de Laplace? Para el uso de Laplace Transformation puede ver Widder (Calcus Vol I) .

Prueba de un caso especial:

Suponga que X e Y son valores aleatorios, ambos tomando valores posibles en { }. Además, suponga que X e Y tienen el mismo mgf para todas las t: n ∑ x = 0 e t x f X ( x ) = $0, 1, 2,\dots, n$ Para simplificar, dejaremos ques=et y definiremosci=

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$$ $s = e^t$ para i = 0 , 1 , … , n .$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$$i = 0, 1,\dots,n$

Ahora ⇒ n ∑ x = 0 s x f X ( x ) - n ∑ y = 0 s y f Y ( y ) = 0 ⇒ n

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$$ ⇒ n ∑ x = 0 sx[fX(x)-fY(x)]=0⇒ n ∑ x = 0 sxcx=0 $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$$ $$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$$ Lo anterior es simplemente un polinomio en s con coeficientes c 0 , c 1 , ... , c n . La única forma en que puede ser cero para todos los valores de s es si c 0 = c 1 = ⋯ = c n = $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$$ $c_0, c_1,\dots,c_n$$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$ Entonces, tenemos que para i = 0 , 1 , $0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$ .$i=0, 1,\dots,n$

Por lo tanto, para i = 0 , 1 , ... , n .$f_X(i)=f_Y(i)$$i=0,1,\dots,n$

En otras palabras, las funciones de densidad para e Y son exactamente las mismas. En otras palabras, X e Y tienen las mismas distribuciones.$X$$Y$$X$$Y$

El teorema que está discutiendo es un resultado básico en la teoría de probabilidad / medida. Las pruebas probablemente se encontrarían en libros sobre probabilidad o teoría estadística. Encontré el resultado análogo para las funciones características dadas en Hoel Port y Stone pp 205-208

Tucker pp 51-53

y Chung pp 151-155 Esta es la tercera edición. Tengo la segunda edición y me refiero a los números de página en la segunda edición publicada en 1974.

La prueba para el mgf me pareció más difícil de encontrar, pero puede encontrarla en el libro de Billingley "Probability and Measure", págs. 342-345. En la página 342, el Teorema 30.1 proporciona el teorema que responde al problema del momento. En la página 345, Billingsley declara el resultado de que si una medida de probabilidad tiene una función generadora de momentos M (s) definida en un intervalo alrededor de 0, entonces la hipótesis del Teorema 30.1 se cumple y, por lo tanto, la medida está determinada por sus momentos. Pero estos momentos s están determinados por M (s). Por lo tanto, la medida está determinada por su función de generación de momentos si M (s) existe en una vecindad de 0. Por lo tanto, esta lógica junto con la prueba que da para el Teorema 30.1 prueba el resultado. Billingsley también comenta que la solución para el ejercicio 26.

$X$$M_X(t)=Ee^{tX}$

$\delta>0$$M_X(t) = M_Y(t) < \infty$$t \in (-\delta,\delta)$$F_X(t) = F_Y(t)$$t \in \mathbb{R}$

Para demostrar que la función generadora de momento determina la distribución, existen al menos dos enfoques:

• $M_X$$(-\delta,\delta)$$X$$F_X$$(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$$M_X$ . Esta prueba se puede encontrar en la Sección 30 de Billingsley, P. Probabilidad y Medida .

• $M_X$$(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$$M_X(z)=Ee^{zX}$$M_X(it)=\varphi_X(t)$$t\in\mathbb{R}$$\varphi_X$$F_X$Curtiss, JH Ann. Matemáticas. Estadísticas 13: 430-433 y referencias allí.

A nivel de pregrado, casi todos los libros de texto funcionan con la función de generación de momentos y establece el teorema anterior sin probarlo. Tiene sentido, porque la prueba requiere matemáticas mucho más avanzadas de lo que permite el nivel de pregrado.

$\varphi_X(t)=Ee^{itX}$