Valor esperado y varianza de la función de rastreo

Para variables aleatorias , y una matriz semi-definida positiva A : ¿Hay una expresión simplificada para el valor esperado, E [ T r ( X T A X ) ] y la varianza, V a r [ T r ( X T A X ) ] ? Tenga en cuenta que A no es una variable aleatoria.$X \in \mathbb{R}^h$$A$$\mathop {\mathbb E}[Tr(X^TAX)]$$Var[Tr(X^TAX)]$$A$

Como $X^TAX$ es un escalar,

$$\text{Tr}(X^TAX)= X^TAX = \text{Tr}(AXX^T)$$ modo que $$\text{E}(X^TAX) = \text{E}(\text{Tr}(AXX^T)) = \text{Tr}(\text{E} (A XX^T)) = \text{Tr}(A\text{E}(XX^T))$$ .

Aquí hemos utilizado que la traza de un producto es invariable bajo permutaciones cíclicas de los factores, y que la traza es un operador lineal, por lo que conmuta con la expectativa. La varianza es un cálculo mucho más complicado, que también necesita algunos momentos más altos de $X$ . Ese cálculo se puede encontrar en Seber: "Análisis de regresión lineal" (Wiley)