¿Cuál es la justificación del uso de aproximaciones taylor dentro de los operadores de expectativa?

A veces veo que la gente usa la aproximación de Taylor de la siguiente manera:

$$E(e^x)\approx E(1+x)$$

Sé que la aproximación de Taylor funciona para

$$e^x \approx 1+x$$

Pero no está claro para mí que podamos hacer la aproximación dentro del operador de expectativas. Intuitivamente, supongo que funciona si "la probabilidad de que$x$ es mucho mayor que 0 es pequeño ", pero no estoy seguro de cuán riguroso es esto.

Editar : estoy aún más confundido cuando tenemos una expectativa de una función:

$$E(f(e^x))\overset ?\approx E(f(1+x))$$

Para su ejemplo específico, la aproximación de Taylor de primer orden alrededor $x_0=0, e^x = e^0 +e^0x+R_1 = 1+x+R_1$, entonces

$$E(e^x) = E(1+x) + E(R_1)$$

Entonces la pregunta es "¿qué podemos decir sobre $E(R_1)$?
Bueno, no sabemos tanto como nos gustaría sobre la aproximación de Taylor , es decir, sobre el comportamiento del resto.

Vea este ejemplo de por qué el resto es algo traicionero, pero también, sugeriría leer a través del hilo muy estimulante, Tomando la expectativa de la serie de Taylor (especialmente el resto) sobre el asunto.

Un resultado interesante en la regresión lineal es el siguiente: supongamos que tenemos el verdadero modelo no lineal

$$y_i = m(\mathbf x_i) + e_i$$

dónde $m(\mathbf x_i)$ es la función de expectativa condicional, $E(y_i\mid \mathbf x_i) = m(\mathbf x_i)$, y así por construcción $E(e_i \mid \mathbf x_i) = 0$.

Considere la aproximación de Taylor de primer orden específicamente alrededor $E(\mathbf x_i)$

$$y_i = \beta_0+\mathbf x_i'\beta + u_i, \;\;\;u_i = R_{1i} + e_i$$

dónde $R_{1i}$ es el resto de Taylor de la aproximación, las betas son las derivadas parciales de la función no lineal con respecto a la $\mathbf x_i$evaluado en $E(\mathbf x_i)$, mientras que el término constante recoge todas las demás cosas fijas de la aproximación (por cierto, esta es la razón por la cual a) se nos dice "siempre incluya una constante en la especificación" pero que b) la constante está más allá de la interpretación significativa en la mayoría de los casos )

Luego, si aplicamos la estimación de Mínimos Cuadrados Ordinarios, obtenemos que Taylor Remainder no será corregido para los regresores, $E(R_{1i}\mathbf x_i) = E(R_{1i})E(\mathbf x_i)$, y también $E(R_{1i}^2) = \min$. El primer resultado implica que las propiedades del estimador OLS para las betas no se ven afectadas por el hecho de que hemos aproximado la función no lineal por su aproximación de Taylor de primer orden. El segundo resultado implica que la aproximación es óptima bajo el mismo criterio para el cual la expectativa condicional es el predictor óptimo (error cuadrático medio, aquí el resto cuadrático medio).

Ambas premisas son necesarias para estos resultados, a saber, que tomamos la expansión de Taylor alrededor del valor esperado de los regresores, y que usamos OLS.

Una situación en la que se usa esto es la asintótica.

Por ejemplo, supongamos $\dfrac{X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)$ y $g$Es una función suave. Entonces

$$\frac{g(X_n)-g(\mu)}{\left|g'(\mu)\right|\sigma/\sqrt n} \overset{\mathcal L} \longrightarrow N(0,1) \text{ as } n\to\infty,$$ dónde $\text{“} \overset{\mathcal L} \longrightarrow \text{''}$significa convergencia en la distribución (también llamada convergencia en la ley). De hecho, estamos eliminando los términos de orden superior en la expansión $$g(x) = g(\mu) + g'(\mu)(x-\mu) + \frac{g''(\mu)} 2 (x-\mu)^2 + \frac{g'''(\mu)} 6 (x-\mu)^3 + \cdots$$ y tratándolo como $$g(x) \approx g(\mu) + g'(\mu)(x-\mu).$$ Uno escribe $$g(X_n) \sim AN\left( g(\mu), \frac{g'(\mu)^2\sigma^2} n \right)$$ dónde $\text{“}AN\text{''}$ significa "asintóticamente normal".