La suma de la combinación lineal del producto de exponenciales es exponencial

Este problema ha surgido en mi investigación: supongamos que son distribuciones exponenciales (ED) con una media y que sea ​​un número no negativo. ¿Es cierto que Esto pasa la comprobación de cordura, ya que el valor esperado de ambos lados es igual a , y si dejamos , entonces el lado izquierdo es igual a , que es exponencial. Aparte de eso, no estoy seguro de cómo abordar este problema, ya que no sé cómo lidiar con el producto de la disfunción eréctil.$V_i \sim \text{ED}$$1$$\lambda$

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}V_{0} \cdots V_k}{k!} \sim \text{ED}?$$ $1$$\lambda = 0$$V_0$

No es una respuesta completa, lo siento, pero algunas ideas (para anhelar un comentario). Tenga en cuenta que lo que tiene es un producto de iid variables aleatorias, donde es una variable aleatoria (rv) con una distribución de Poisson con parámetro . Eso se puede usar para otro "control de cordura", una simulación (usando exponenciales de tasa 1):$K+1$$K$$\lambda$

set.seed(7*11*13)
N <- 1000000

prods <- rep(0, N)
ks <- rpois(N, 1)+1

for (i in 1:N) {
    k  <-  ks[i]
    prods[i]  <-  prod( rexp(k, 1))
}

qqplot( qexp(ppoints(N)), prods)

El resultado qqplot(no se muestra aquí) está lejos de ser una línea recta, por lo que no parece ser un exponencial de la tasa 1. La media es correcta, la varianza es grande, hay una cola derecha mucho más larga que para un exponencial. ¿Qué se puede hacer teóricamente? La transformación Mellin https://en.wikipedia.org/wiki/Mellin_transform está adaptada a productos de variables aleatorias independientes. Calcularé solo para el exponencial con la tasa 1. La transformación de Mellin de es por lo que la transformada de Mellin de un producto de iid exponenciales es Dado que$V_0$

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M_1(s) = \E V_0^s = \int_0^\infty x^s e^{-x}\; dx = \Gamma(s+1)$$ $k+1$ $$M_{k+1}(s) = \Gamma(s+1)^{k+1}$$ $K$tiene una distribución de Poisson con parámetro , la transformada de Mellin del producto aleatorio de un número aleatorio factores, es pero no puedo encontrar un inverso de esta transformación. Pero tenga en cuenta que si es una variable aleatoria no negativa con la transformación de Mellin , entonces, definiendo , encontramos que por lo que la transformación Mellin de es la función generadora de momento de su logaritmo$\lambda$$K+1$ $$M(s) = \E M_{K+1}(s) = \E \Gamma(s+1)^{K+1}= \Gamma(s+1)e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}\Gamma(s+1)^k=e^{-\lambda}\Gamma(s+1) e^{\lambda \Gamma(s+1)}$$ $X$$M_X(t)$$Y=\log X$ $$K_Y(t)=\E e^{tY} = \E e^{t\log X}=\E e^{\log (X^t)}=\E X^t =M_X(y)$$ $X$$Y$. Entonces, usando eso podemos aproximar la distribución de con métodos de aproximación de punto de silla de montar, ¿Cómo funciona la aproximación de punto de silla de montar? y busca en este sitio.$X$