Usos de la vida real de las funciones generadoras de momentos

En la mayoría de los cursos básicos de teoría de probabilidad, las funciones generadoras de momentos contados (mgf) son útiles para calcular los momentos de una variable aleatoria. En particular la expectativa y la varianza. Ahora, en la mayoría de los cursos, los ejemplos que proporcionan para la expectativa y la variación pueden resolverse analíticamente utilizando las definiciones.

¿Existen ejemplos de distribuciones en la vida real en los que encontrar las expectativas y la varianza es difícil de hacer analíticamente y, por lo tanto, era necesario el uso de mgf? Lo pregunto porque siento que no veo exactamente por qué son importantes en los cursos básicos.

Tienes razón en que los mgf pueden parecer algo desmotivados en los cursos introductorios. Entonces, algunos ejemplos de uso. Primero, en los problemas de probabilidad discreta a menudo usamos la función de generación de probabilidad, pero eso es solo un paquete diferente de la mgf, vea ¿Cuál es la diferencia entre la función de generación de momento y la función de generación de probabilidad? . El pgf se puede usar para resolver algunos problemas de probabilidad que podrían ser difíciles de resolver de lo contrario, para un ejemplo reciente en este sitio, vea PMF del número de pruebas requeridas para dos cabezas sucesivas o la suma de distribuciones gamma con siendo una distribución de Poisson$N$$N$. Algunas aplicaciones no tan obvias que aún podrían usarse en un curso introductorio, se dan en Expectativa del recíproco de una variable , Valor esperado de cuando sigue una distribución Beta$1/x$$x$ y Para RV independientes , implica ? $X_1,X_2,X_3$$X_1+X_2\stackrel{d}{=}X_1+X_3$$X_2\stackrel{d}{=}X_3$.

Otro tipo de uso es la construcción de aproximaciones de distribuciones de probabilidad, un ejemplo es la aproximación del punto de silla de montar, que toma como punto de partida los logaritmos naturales de la mgf, llamada función de generación acumulativa. Consulte ¿Cómo funciona la aproximación de saddlepoint? y para algunos ejemplos, vea Bound para la suma ponderada de variables aleatorias de Poisson y la suma genérica de variables aleatorias gamma

Los Mgf también se pueden usar para probar teoremas de límites, por ejemplo, el límite de Poisson de las distribuciones binomiales. Comprenda intuitivamente por qué la distribución de Poisson es el caso límite de la distribución binomial que se puede probar a través de los mgf.

Algunos ejemplos (conjuntos de ejercicios con soluciones) del uso actuarial de mgf se pueden encontrar aquí: https://faculty.math.illinois.edu/~hildebr/370/370mgfproblemssol.pdf Buscar en Internet con "función de generación de momento actuarial" le dará muchos ejemplos similares Los actuarios parecen estar usando mgf para resolver algunos problemas (que surgen en casos de cálculos premium) que de otra manera es difícil de resolver. Un ejemplo en la sección 3.5 página 21 y libros sobre teoría de riesgo actuarial . Una fuente de mgf (estimados) para tales aplicaciones podría ser mgf empírico (curiosamente, no puedo encontrar ni una publicación aquí sobre las funciones generadoras de momento empírico).

¿Existen ejemplos de distribuciones en la vida real en los que encontrar las expectativas y la varianza es difícil de hacer analíticamente y, por lo tanto, era necesario el uso de mgf?

Hay muchos problemas en los que es difícil encontrar la media y la varianza utilizando sus fórmulas estándar como una suma / integral sobre la masa / densidad. Un ejemplo donde esto es difícil, pero no imposible, es la distribución del colector de cupones , que tiene una función de masa de probabilidad:

donde la función denota los números de Stirling del segundo tipo . Si intenta usar el método estándar aquí, terminará con una fórmula recursiva que involucra los números de Stirling, y es complicado trabajar con ella. Un método más simple para obtener la media y la varianza es derivar la función generadora acumulativa (logaritmo de la función generadora de momentos) que ya no contiene los números de Stirling. Entonces es relativamente simple obtener los acumulantes de la distribución. Le recomiendo que pruebe este ejercicio a través de ambos métodos para ver a qué me refiero.$S$