¿Por qué es ln [E (x)]> E [ln (x)]?

Estamos tratando con la distribución lognormal en un curso de finanzas y mi libro de texto simplemente dice que esto es cierto, lo cual me parece un poco frustrante ya que mi experiencia en matemáticas no es muy fuerte, pero quiero la intuición. ¿Alguien puede mostrarme por qué este es el caso?

Recordemos que $e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

Entonces$e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

Ahora dejando , tenemos:$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

ahora tome los registros de ambos lados

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

Alternativamente:

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$ (donde )$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$ (desde )$\ln(t+1)\leq t$

Ahora tome las expectativas de ambos lados:

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

Una ilustración (que muestra la conexión con la desigualdad de Jensen):

( Aquí los roles de X e Y se intercambian para que coincidan con los ejes de la trama; una mejor planificación habría intercambiado sus roles anteriores para que la trama coincida más directamente con el álgebra ) .

Las líneas de colores sólidos representan medias en cada eje.

Como vemos porque la relación "se dobla hacia" en el medio (y "lejos de" ), la media de (línea horizontal naranja) avanza un poco más antes de llegar a la curva (dando el pequeño espacio (marcado en azul) ) entre log (mean (y)) y mean (log (y)) que vemos).$X$$Y$$Y$