Solicitar la verificación de un resultado de matriz simple

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Suponer X es un k×1Vector de variables aleatorias. Entonces por favor verifique queEX(EXX)1EX1.

Cuando K=1 Este es un resultado bien conocido que (EX)2EX2. Pero, ¿cómo puedo reclamar esto en general?

Jie Wei
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Respuestas:

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Dejar μ=EX y Σ=E(XXT)μμT. Entonces necesitamos mostrar

μT(Σ+μμT)1μ1.

Dejar C=E(XXT) así que eso Σ=CμμT. Usando el lema determinante de la matriz y la existencia deC1 Podemos ver eso Σ1 existe exactamente cuando μTC1μ1. SiμTC1μ=1 hemos terminado, así que WLOG asumimos μTC1μ1.

Luego, según la fórmula de Sherman-Morrison , tenemos

μT(Σ+μμT)1μ=μTΣ1μμT(Σ1μμTΣ11+μTΣ1μ)μ=cc21+c=c1+c<1
ya que Σ1 es PSD tan c0.
jld
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