Estadística completa para en una

Me gustaría saber si la estadística está completa para en una configuración .

$$T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}$$ $\sigma^2$$N(\mu,\sigma^2)$

¿Depende esto de si se conoce previamente o no? Si está completo para , entonces por Lehmann-Scheffé es UMVUE . Pero si se conociera \ mu , podríamos haber considerado W (X_1, \ ldots, X_n) = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ n (X_i- \ mu) ^ 2} {n}, cuya varianza es igual a Cramer-Rao enlaza 2 \ sigma ^ 4 / n , y es estrictamente menor que 2 \ sigma ^ 4 / (n-1) = \ text {Var} [T] , por lo que T no puede ser UMVUE.$\mu$$T$$\sigma^2$$\mu$

$$W(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{n},$$ $2\sigma^4/n$$2\sigma^4/(n-1)=\text{Var}[T]$$T$

Creo que resolví mi propia pregunta. Comentarios sobre esta respuesta y nuevas respuestas son bienvenidas.

Si son observaciones en una población y es desconocido , entonces (esto muestra que la familia normal es una familia exponencial) Como la imagen del mapa contiene un conjunto abierto de , según un teorema (por ejemplo, consulte la página 6 aquí ), la estadística$x_1,\ldots,x_n$$N(\mu,\sigma^2)$$\mu$

$$f(x_1,\ldots,x_n|\mu,\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{n\mu^2}{2\sigma^2}}e^{\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^nx_i-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i^2}$$ $$(\mu,\sigma^2)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\mapsto (\frac{\mu}{\sigma^2},-\frac{1}{2\sigma^2})$$ $\mathbb{R}^2$$U=(\sum_{i=1}^n X_i,\sum_{i=1}^n X_i^2)$es suficiente y completo para . Como es una función de y está centrado para , por Lehmann-Scheffé es UMVUE para .$(\mu,\sigma^2)$$T$$U$$\sigma^2$$T$$\sigma^2$

Ahora, si se conoce , ya no pertenece al espacio paramétrico, por lo tanto, la función de densidad "nueva" es (tenemos una nueva familia exponencial). Como la imagen del mapa contiene un subconjunto abierto de , nuestra estadística es suficiente y completa para . Como además está centrado, es UMVUE para por Lehmann-Scheffé.$\mu=\mu_0$$\mu$

$$f(x_1,\ldots,x_n|\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_0)^2}$$ $$\sigma^2\in\mathbb{R}^+\mapsto -\frac{1}{2\sigma^2}$$ $\mathbb{R}$$W$$\sigma^2$$W$$\sigma^2$

En su estadística , se usa como la estimación de . Si conoce el verdadero valor de , entonces es preferible el estimador de la varianza . es imparcial y tiene una varianza menor que . Así, en el entorno en el que es conocido, el uso .$T(X_{1},\ldots,X_{n})$$\bar{X}$$\mu$$\mu$$W(X_{1},\ldots,X_{n})$$W$$T$$\mu$$W$