¿Significa = modo implica una distribución simétrica?

Sé que esta pregunta se ha hecho con el caso mean = mediana, pero no encontré nada relacionado con mean = mode.

Si el modo es igual a la media, ¿puedo concluir siempre que se trata de una distribución simétrica? ¿Me veré obligado a conocer también la mediana de esta manera?

Mean = mode no implica simetría.

Incluso si mean = median = mode todavía no necesariamente tiene simetría.

Y en previsión del posible seguimiento, incluso si la media = mediana = modo y el tercer momento central es cero (por lo que la distorsión del momento es 0), todavía no necesariamente tiene simetría.

... pero hubo un seguimiento de eso. NickT preguntó en comentarios si tener todos los momentos impares cero era suficiente para requerir simetría. La respuesta a eso también es no. [Ver la discusión al final. ]$^\dagger$

Esas diversas cosas están todas implicadas por la simetría (suponiendo que los momentos relevantes son finitos), pero la implicación no va a la inversa, a pesar de que muchos textos elementales dicen claramente lo contrario sobre uno o más de ellos.

Los contraejemplos son bastante triviales de construir.

Considere la siguiente distribución discreta:

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

Tiene media, mediana, moda y tercer momento central (y, por lo tanto, distorsión de momento), todos 0 pero es asimétrico.

Este tipo de ejemplo también se puede hacer con una distribución puramente continua. Por ejemplo, aquí hay una densidad con las mismas propiedades:

Esta es una mezcla de densidades triangulares simétricas (cada una con rango 2) con medias en -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5 y pesos de mezcla 0.08, 0.08, 0.12, 0.08, 0.28, 0.08 , 0.08, 0.20 respectivamente. El hecho de que acabo de hacer esto ahora, sin haberlo visto antes, sugiere cuán simples son estos casos para construir.

[Elegí los componentes de la mezcla triangular para que el modo no fuera visualmente ambiguo; podría haberse utilizado una distribución más uniforme.]

Aquí hay un ejemplo discreto adicional para abordar las preguntas de Hong Ooi sobre cuán lejos de la simetría estas condiciones le permiten llegar. Este no es un caso limitante, solo ilustra que es simple hacer un ejemplo menos simétrico:

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

El pico en 0 se puede hacer relativamente más alto o más bajo sin cambiar las condiciones; Del mismo modo, el punto a la derecha se puede colocar más lejos (con una reducción en la probabilidad) sin cambiar mucho las alturas relativas en 1 y -2 (es decir, su probabilidad relativa se mantendrá cerca de la relación 2: 1 a medida que se mueve hacia la derecha elemento sobre).

Más detalles sobre la respuesta a la pregunta de NickT

$\dagger$

No llamaría a esa distribución simétrica.

No.

$X$$p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$$p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$$p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$$X$

Para repetir una respuesta que di en otro lugar , pero también cabe aquí:

que no solo tiene media, mediana y moda todas iguales, sino que también tiene sesgo cero. Muchas otras versiones son posibles.