Variables aleatorias para las cuales las desigualdades de Markov y Chebyshev son estrechas

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Estoy interesado en construir variables aleatorias para las cuales las desigualdades de Markov o Chebyshev son estrechas.

Un ejemplo trivial es la siguiente variable aleatoria.

P ( | X |1 ) = 1PAG(X=1)=PAG(X=-1)=0,5 . Su media es cero, la varianza es 1 y . Para esta variable aleatoria, chebyshev es ajustado (se mantiene con igualdad).PAG(El |XEl |1)=1

PAG(El |XEl |1)Var(X)12=1

¿Existen variables aleatorias más interesantes (no uniformes) para las cuales Markov y Chebyshev son estrictos? Algunos ejemplos serían geniales.

SPV
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Respuestas:

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La clase de distribuciones para las cuales se mantiene el caso límite del límite de Chebyshev es bien conocida (y no es tan difícil de adivinar). Normalizado por ubicación y escala es

Z={-k,con probabilidad 12k20 0,con probabilidad 1-1k2k,con probabilidad 12k2

Esta es (hasta escala) la solución dada en la página de Wikipedia para la desigualdad de Chebyshev .

[Puede escribir una secuencia de distribuciones (colocando más probabilidad en el centro con el mismo eliminado de manera uniforme de los puntos finales) que satisfaga estrictamente la desigualdad y se acerque a ese caso límite tan estrechamente como lo desee.]ϵ>0 0

Cualquier otra solución puede obtenerse por localización y escala turnos de esto: Let .X=μ+σZ

Para la desigualdad de Markov, sea entonces tienes probabilidad 1 - 1 / k 2 en 0 y 1 / k 2 en k . (Aquí se puede introducir un parámetro de escala pero no un parámetro de ubicación)Y=El |ZEl |1-1/ /k21/ /k2k

Casos limitantes de Chebyshev y Markov

Las desigualdades de momento, y de hecho muchas otras desigualdades similares, tienden a tener distribuciones discretas como sus casos limitantes.

Glen_b -Reinstate a Monica
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Creo que obtener una distribución continua sobre todo el eje real que sigue exactamente el límite de Chebyshev puede ser imposible.

P(X∣>x)=1/x2x>011/x22/ /X3X>0 0X∣ <αX3X∣≥α

XX2X-3mi[X]mi[X2]

PAG(X∣>X)=X-(2+ϵ)ϵX-(3+ϵ)1/ /ϵ

pagreF(X)=2/ /X3ϵ<∣X∣ <Λ

ϵ=2(1-1mi)
Λ=ϵ=2(mi-1)
0,887<El |XEl |<1,39
jwimberley
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No creo que sea difícil demostrar que ninguna variable continua de soporte infinito puede alcanzar el límite inferior
MichaelChirico
@MichaelChirico Yo tampoco lo creo; Simplemente no quería pasar por el esfuerzo.
jwimberley