¿Es normal la suma de una gran cantidad de variables aleatorias Cauchy independientes?

Según el Teorema del límite central, la función de densidad de probabilidad de la suma de grandes variables aleatorias independientes tiende a una Normal. Por lo tanto, ¿podemos decir que la suma de un gran número de variables aleatorias Cauchy independientes también es Normal?

No.

Te estás perdiendo uno de los supuestos centrales del teorema del límite central:

... variables aleatorias con variaciones finitas ...

La distribución de Cauchy no tiene una variación finita.

La distribución de Cauchy es un ejemplo de una distribución que no tiene una media, varianza o momentos más altos definidos.

De hecho

Si son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, cada una con una distribución Cauchy estándar, entonces la media muestral tiene la misma distribución Cauchy estándar.$X_1, \ldots, X_n$$\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$

Entonces, la situación en su pregunta es bastante clara, solo sigue recibiendo la misma distribución de Cauchy.

Este es el concepto de una distribución estable, ¿verdad?

Si. Una distribución (estrictamente) estable (o variable aleatoria) es aquella para la cual cualquier combinación lineal de dos copias iid se distribuye proporcionalmente a la distribución original. La distribución de Cauchy es, de hecho, estrictamente estacionaria.$a X_1 + b X_2$

(*) Citas de wikipedia.