Distribución de tipo normal sobre un área delimitada

¿Existe una distribución que se asemeje a la distribución gaussiana (normal), pero tal que su densidad de probabilidad no sea cero solo en un segmento definido.

La pregunta surgió cuando traté de modelar la 'propagación de bala' dentro de un círculo. La distribución gaussiana funciona bien, pero siempre existe la posibilidad de que la bala golpee fuera del círculo. Entonces, me gustaría encontrar una distribución muy similar a la gaussiana, pero con la propiedad de que la probabilidad fuera del segmento (o círculo) definido es cero.

EDITAR: Sí, en realidad me refiero a un disco, no a un círculo. EDITAR: Y sí, solo necesito una distribución unidimensional (a lo largo del radio de un disco) que será circular-simétrica (no depende del ángulo).

Podría usar una distribución normal truncada. Es solo una distribución normal para la que solo considera un intervalo. Necesita reescalarlo para asegurarse de que el pdf se integre a 1. Pero esto me parece exactamente lo que está buscando.

La distribución de VonMises es similar a la normal, pero se usa con datos circulares y se define solo en el intervalo de un círculo (0-360 grados o 0-2pi radianes).

La distribución Beta se define de 0 a 1 (pero podría escalarse a otros intervalos), con los parámetros iguales es simétrica y para muchos valores en forma de campana.

Esta es una vieja pregunta, pero sigue siendo relevante para los nuevos lectores. Me sorprende que nadie haya mencionado la distribución de Coseno Elevado .

Con media $\mu$ y parámetro de propagación $s$ está perfectamente delimitado en $[\mu - s, \mu + s]$ y su función de densidad de probabilidad (PDF) también tiene una curva en forma de campana.

+1 para la respuesta de muestreo de rechazo.

¿Podría también probar de la distribución Beta donde $\alpha$(aka shape1) es 1 y$\beta \gt 1$(aka shape2)? Esto se define en [0,1], así que multiplíquelo por el radio del disco y tendrá cero probabilidad de seleccionar puntos en el radio o más.

Los aspectos positivos incluyen: a) hay una probabilidad cero de seleccionar una distancia mayor o igual al radio, yb) puede hacer un muestreo directo en lugar de cosas como el muestreo de rechazo.

Las desventajas incluyen: a) es inquietante cerca de 0 yb) la distribución no es "muy similar" a la gaussiana. (Es mucho más alto cerca de 0, es decir, en el centro, que el gaussiano, aunque eso podría ser lo que quiere el OP).

Parece que lo que se busca es una distribución uniforme en un disco, que consideraré (el interior de) el círculo unitario. Podemos parametrizar por$(r,\theta)$ entonces tenemos $0 \le r \le 1$ y $0 \le \theta \le 2\pi$. Podemos dejar$\theta$ tener una distribución uniforme, independiente de $R$, y debe encontrar la distribución de $R$eso da una distribución uniforme en el círculo. Como la probabilidad debe ser proporcional al área, tenemos para$0 \le a \le b \le 1$ ese

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(a\le R \le b) \propto \pi b^2 - \pi a^2$$ y tomando $a=0$, $b=1$ da $F_R(r)= r^2$. Entonces la densidad es la derivada$f_R(r)=2r$. La densidad conjunta de$R$ y $\theta$ entonces se convierte $$f(r,\theta)=\frac1{2\pi}\cdot 2r = \frac{r}{\pi}$$ Esto es fácil de simular, la suma de dos uniformes independientes tiene una distribución triangular (y simétrica), a veces descrita como una distribución "carpa". Solo queremos la parte izquierda de la tienda, que podemos obtener reflejando la distribución en una línea vertical en la parte superior (modo) de la tienda. Simulando esto en R da:

El código R para la simulación es:

set.seed(7*11*13)
rleft_tri  <-  function(n) {
    T  <-  runif(n)+runif(n)
    val  <-  ifelse(T <= 1,T, 2-T)
    val
}

rdisk  <-  function(n)  {
    val  <-  cbind(  rleft_tri(n),  2*pi*runif(n) )
    colnames(val)  <-  c("R","Theta")
    val
    }

#

library(plotrix)
par(bg="antiquewhite")
points  <- rdisk(10000)         plot(c(-1,1),c(-1,1),type="n",axes=FALSE,xlab="",ylab="",xlim=c(-1.1,1.1),ylim=c(-1.1,1.1))
    draw.circle(x=c(0,0),y=c(0,0),radius=1,col="aquamarine")
    points(with(as.data.frame(points),cbind(R*cos(Theta), R*sin(Theta))),pch=".",col="red",cex=2)

Tenga en cuenta que este es un caso especial de la antigua respuesta de @Greg Snow, ya que la distribución "carpa izquierda" es una distribución beta con parámetros $a=2, b=1$. Pero el código anterior para simularlo es probablemente más rápido que el código general para simular desde una versión beta (o lo sería si estuviera programado en C).