¿Esta distribución tiene un nombre?

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Hoy se me ocurrió que la distribución podría verse como un compromiso entre Gauss y Laplace distribuciones, para y¿Tal distribución tiene un nombre? ¿Y tiene una expresión para su constante de normalización? El cálculo me deja perplejo, porque no sé cómo comenzar a resolver incluso en la integral

F (X) \propto \exp (- \frac{El | X - μ {El |}^{pags}}{β})

$f(x)\propto\exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right)$

x \in R, p \in [1, 2]

$x\in\mathbb{R}, p\in[1,2]$

β > 0.

$\beta>0.$

C

$C$

1 = do \cdot \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{El | X - μ {El |}^{pags}}{β}) re X

$1=C\cdot \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right) dx$

distributions normal-distribution terminology laplace-distribution distribution-identification Sycorax dice reinstalar a Mónica
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Respuesta corta

El pdf que describe se conoce más apropiadamente como una distribución de Subbotin ... vea el artículo en 1923 de Subbotin que tiene exactamente la misma forma funcional, con digamos $Y = X-\mu$ .

Subbotin, MT (1923), Sobre la ley de la frecuencia del error, Matematicheskii Sbornik, 31, 296-301.

quien ingresa el pdf en su ecuación 5, de forma:

F (y) = K \exp [- {(\frac{El | y El |}{σ})}^{pags}]

$f(y) = K \exp\left[-\left(\frac{|y|}{\sigma}\right)^p\right]$

con constante de integración: $K = \large\frac{p}{2 \sigma \Gamma \left(\frac{1}{p}\right)}$ , según la derivación de Xian donde $\beta = \sigma^p$

Respuesta más larga

Lamentablemente, Wikipedia no siempre está "actualizada", es precisa o, a veces, solo 80 años retrasada. Después de Subbotin (1923), la distribución ha sido ampliamente utilizada en la literatura, incluyendo:

Diananda, PH (1949), Nota sobre algunas propiedades de estimaciones de máxima verosimilitud, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 45, 536-544.
Turner, ME (1960), Sobre métodos de estimación heurística, Biometrics, 16 (2), 299-301.
Zeckhauser, R. y Thompson, M. (1970), Regresión lineal con términos de error no normales, The Review of Economics and Statistics, 52, 280-286.
McDonald, JB y Newey, WK (1988), Estimación parcialmente adaptativa de modelos de regresión a través de la distribución t generalizada, Econometric Theory, 4, 428-457.
Johnson, NL, Kotz, S. y Balakrishnan, N. (1995), Distribuciones Univariadas Continuas, volumen 2, 2a edición, Wiley: Nueva York (1995, p.422)
Mineo, AM y Ruggieri, M. (2005), una herramienta de software para la distribución de potencia exponencial: el paquete normalp, Journal of Statistical Software, 12 (4), 1-21.

... todo antes del artículo referenciado en Wiki. Además de estar 80 años desactualizado, el nombre usado en Wiki 'una Normal Generalizada' también parece inapropiado porque hay una infinidad de distribuciones que son generalizaciones de la Normal, y el nombre es, en cualquier caso, ambiguo a la literatura. Tampoco reconoce al autor original.

lobos
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Por razones obvias, puede deshacerse de μ y β, por lo que todo lo que queda es Por lo tanto,

\int_{0 0}^{\infty} \exp {- X^{pags}} re X \overset{y = X^{pags}}{=} \int_{0 0}^{\infty} \exp {- y} El | \frac{re X}{re y} El | re y \overset{X = y^{1 / / pags}}{=} \int_{0 0}^{\infty} \exp {- y} \frac{1}{pags} y^{\frac{1}{pags} - 1} re y = Γ (1 / / pags) \frac{1}{pags}

$\int_0^\infty \exp\{−x^p\}\text{d}x\stackrel{y=x^p}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\left|\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y}\right|\text{d}y\stackrel{x=y^{1/p}}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\frac{1}{p}y^{\frac{1}{p}-1}\text{d}y=\Gamma(1/p)\frac{1}{p}$

\int_{- \infty}^{\infty} \exp {- β^{- 1} El | X - μ {El |}^{pags}} re X = \frac{2 Γ (1 / / pags)}{pags} β^{1 / / pags}

$\int_{-\infty}^\infty \exp\{−\beta^{-1}|x-\mu|^p\}\text{d}x=\dfrac{2\Gamma(1/p)}{p}\beta^{1/p}$

Xi'an
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2

D'oh Por supuesto. ¿Y por casualidad sabes si tiene un nombre?

Sycorax dice Reinstate Monica

1

Está algo conectado con las [distribuciones de Weibull y Fréchet] ( en.wikipedia.org/wiki/… ), sin embargo, esas tienen un término de poder frente a lo exponencial. Por lo tanto, es más una distribución gaussiana para otra métrica que la distancia cuadrática.

Xi'an

1

+1 No estaría mal llamar a esto una distribución de "poder Gamma".

whuber

13

Según Wikipedia, esto se conoce como distribución normal generalizada (versión 1 en el artículo), y la restricción no es necesaria, pero cualquier valor positivo está bien. $p\in [1,2]$

La referencia dada en Wikipedia es Saralees Nadarajah (2005) Una distribución normal generalizada , Journal of Applied Statistics, 32: 7, 685-694, DOI: 10.1080 / 02664760500079464. Este artículo menciona que la constante de normalización se encuentra por 'integración simple'. Supongo que siguiendo la respuesta de Xi'an.

Juho Kokkala
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