Intervalo de confianza del tercer momento de distribución normal.

¿Cómo calcular el intervalo de confianza exacto para el tercer momento de distribución normal ?$N(a, \sigma^2)$

Para encontrar un intervalo de confianza para esta cantidad, deberá formar una cantidad fundamental que utilice el tercer momento bruto como su único parámetro desconocido. Es posible que no sea posible hacer esto exactamente, pero generalmente puede obtener algo que es una cantidad aproximadamente fundamental que se puede usar para formar un intervalo de confianza aproximado. Para hacer esto, primero encontraremos la forma del tercer momento bruto que se está estimando, luego construiremos un estimador de muestra de este momento, y luego trataremos de usar esto para construir una cantidad cuasi-pivotal y el intervalo de confianza resultante.

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¿Cuál es el tercer momento bruto de una distribución normal? Tomar$X \sim \text{N}(\mu, \sigma^2)$ ser una variable aleatoria normal aleatoria y definir $Y = X-\mu \sim \text{N}(0, \sigma^2)$. El tercer momento crudo de$X$ es:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mu_3 \equiv \mathbb{E}(X^3) &= \mathbb{E}((\mu + Y)^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(Y^3 + 3 \mu Y^2 + 3 \mu^2 Y + \mu^3) \\[6pt] &= 0 + 3 \mu \sigma^2 + 0 + \mu^3 \\[6pt] &= 3 \mu \sigma^2 + \mu^3. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Este es el parámetro que está tratando de estimar en su análisis.

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Estimador imparcial del tercer momento bruto: normalmente, estimaríamos el parámetro medio con la media muestral y el parámetro de varianza con la varianza muestral, pero en este caso queremos estimar una función de estas cosas, y es probable que la sustitución de estos estimadores conducir a un estimador sesgado. Comenzaremos tratando de encontrar un estimador imparcial del tercer momento bruto. Para hacer esto, comenzamos señalando que:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}((\mu + \bar{Y}_n)^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\bar{Y}_n^3 + 3 \mu \bar{Y}_n^2 + 3 \mu^2 \bar{Y}_n + \mu^3) \\[6pt] &= 0 + 3 \mu \frac{\sigma^2}{n} + 0 + \mu^3 \\[6pt] &= \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Sabemos por el teorema de Cochran que la media muestral y la varianza muestral de los datos normales son independientes, por lo que también tenemos$\mathbb{E}(\bar{X}_n S_n^2) = \mathbb{E}(\bar{X}_n) \mathbb{E}(S_n^2) = \mu \sigma^2$. Por lo tanto, en base a estos resultados, podemos formar el estimador imparcial :

$$\hat{\mu}_3 = \frac{3(n-1)}{n} \cdot \bar{X}_n S^2 + \bar{X}_n^3.$$

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Variación del estimador: Sabemos que el valor esperado de este estimador es igual al tercer momento bruto de la distribución (para ver esto, simplemente sustituya las expresiones de valor esperadas anteriores), sin embargo, la varianza del estimador es laboriosa de derivar. Como resultados preliminares tenemos:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(\bar{X}_n S^2) &= \mathbb{V}(\bar{X}_n) \mathbb{V}(S^2) \\[6pt] &= \frac{1}{n} \sigma^2 \cdot \frac{2}{n-1} \sigma^4 \\[6pt] &= \frac{2}{n(n-1)} \sigma^6, \\[12pt] \mathbb{V}(\bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^6) - \mathbb{E}(\bar{X}_n^3)^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{45}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{15}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) - \Big( \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3 \Big)^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{45}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{15}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) - \Big( \frac{9}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) \\[6pt] &= \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{36}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \mu^4 \sigma^2, \\[12pt] \mathbb{C}(\bar{X}_n S^2, \bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^4 S^2) - \mathbb{E}(\bar{X}_n S^2) \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^4) \mathbb{E}(S^2) - \mathbb{E}(\bar{X}_n) \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) \mathbb{E}(S^2) \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 - \mu \Big( \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 - \Big( \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^2 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \frac{3}{n^2} \sigma^6 + \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^4. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Esto nos da la varianza:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(\hat{\mu}_3) &= \mathbb{V} \Big( \frac{3(n-1)}{n} \cdot \bar{X}_n S^2 + \bar{X}_n^3 \Big) \\[6pt] &= \frac{9(n-1)^2}{n^2} \cdot \mathbb{V}(\bar{X}_n S^2) + \mathbb{V}(\bar{X}_n^3) + \frac{3(n-1)}{n} \cdot \mathbb{C} (\bar{X}_n S^2, \bar{X}_n^3) \\[6pt] &= \frac{18(n-1)}{n^3} \sigma^6 + \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{36}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \mu^4 \sigma^2 \Big) + \Big( \frac{9(n-1)}{n^3} \sigma^6 + \frac{9(n-1)}{n^2} \mu^2 \sigma^4 \Big) \\[6pt] &= \frac{27n-12}{n^3} \cdot \sigma^6 + \frac{9n+27}{n^2} \cdot \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \cdot \mu^4 \sigma^2 \\[6pt] &= \frac{3}{n^3} \Big[ (9n-4) \sigma^6 + (3n^2+9n) \mu^2 \sigma^4 + 3n^2 \mu^4 \sigma^2 \Big]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

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Formando un intervalo de confianza: a partir de los resultados anteriores, podemos obtener un estimador imparcial para el tercer momento bruto, con varianza conocida. La distribución exacta de este estimador es complicada, y su densidad no puede expresarse en forma cerrada. Es posible formar una cantidad estudiada con este estimador, aproximar su distribución y tratarla como una cantidad cuasi-pivotal para obtener un intervalo de confianza aproximado. Sin embargo, esto no sería un intervalo de confianza exacto.

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