¿Se puede calcular la autocorrelación de matrices de covarianza muestreadas por MCMC?

Imagine que muestreamos una matriz de covarianza de una distribución Wishart por MCMC.

En cada iteración, obtenemos una nueva matriz de muestra $S_i$ de la distribución Wishart.

Pregunta : Dada la traza que contiene todas las muestras$S_1,...S_n$, ¿puedo trazar la autocorrelación de estas muestras?

He visto a alguien usando la autocorrelación de $\log(\det(S))$, pero no encontré justificación.

A mi modo de ver, cuando dibuja matrices de una distribución Wishart, realmente está dibujando variables aleatorias univariadas específicamente relacionadas en cada paso de tiempo. Es decir, solo la parte de cualquier [= la parte triangular superior] es aleatoria, y la simetría te da el resto. En otras palabras, la autocorrelación se define en parejas para cualquiera de las dos entradas de -dimensional vectors y para cualquier . Por supuesto, esto te deja con un número posiblemente inviable de$p \times p$$S_1, S_2, \dots S_n$$p\cdot (p+1)/2$$\text{vech}(S_i)$$S_i$$p\cdot (p+1)/2$$\text{vech}(S_i)$$\text{vech}(S_{i-h})$$h>0$$(p\cdot (p+1)/2)^2$autocorrelaciones univariadas para rastrear, y dado que las entradas de cada estarán significativamente relacionadas entre sí (ver, por ejemplo, la definición dada a través de dibujos de una normal aquí: https://en.wikipedia.org/ wiki / Wishart_distribution ), me imagino que descartas información haciendo este análisis univariante. Dicho esto, las autocorrelaciones univariadas se pueden calcular por entrada definiendo primero Claramente,$\text{vech}(S_i)$

$$\begin{align} \bar{S} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{vech}(S_i) \\ \bar{S_h} & = \frac{1}{n-h}\sum_{i=h+1}^n \text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T. \end{align}$$ $\bar{S}$es un estimador natural de la parte triangular superior de la expectativa (que puede reemplazar con la verdadera expectativa de su distribución Wishart si la conoce). Del mismo modo, es un estimador natural por el momento . Por último, observando que se llega a las estimaciones de autocorrelación para través de Como se mencionó anteriormente, esto le da la$\bar{S}_h$$\mathbb{E}(\text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T)$ $$\begin{align} \text{Cov}(\text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T) = \mathbb{E}(\text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T) - \mathbb{E}(\text{vech}(S_i))\mathbb{E}(\text{vech}(S_i))^T, \end{align}$$ $A(h)$$\text{vech}(S_i)$ $$\begin{align} A(h) &= \bar{S}_h - \bar{S}\bar{S}^T. \end{align}$$ $(p\cdot (p+1)/2)^2$ autocorrelaciones de cada entrada de matriz de Wishart entre sí la entrada de matriz de Wishart. Si esa es demasiada información para mostrar, creo que una estrategia que podría tomar sería definir la serie de tiempo univariada es decir, simplemente toma el promedio del valor absoluto de la autocorrelación. Si solo le interesan las autocorrelaciones positivas y no cree que la autocorrelación negativa sea perjudicial, entonces evite el valor absoluto. Del mismo modo, si cree que la autocorrelación a lo largo de la diagonal es peor que fuera de la diagonal o al revés, podría agregar pesos $$\begin{align} a(h) &= \frac{1}{(p\cdot (p+1)/2)^2}\sum_{i=1}^{(p\cdot (p+1)/2}\sum_{j=1}^{(p\cdot (p+1)/2}|A(h)_{ij}|, \end{align}$$ $w_{ij}$ que toman en cuenta esta 'función de pérdida'.