(Referencias) ¿Cómo derivar modelos experimentales de diseño, en lugar de simplemente memorizarlos?

En la clase de métodos estadísticos de nivel MS que estoy tomando, aprendí sobre varios modelos lineales para el diseño experimental. Toma por ejemplo,

$$Y_{ij} = \mu + \beta_i + \tau_j + \varepsilon_{ij}\,,$$ para el modelo de diseño de bloques completos al azar (RCBD) ($i$ representando el bloque, $j$ representando los tratamientos), $\beta$ representando los efectos de bloque, $\tau$ los efectos del tratamiento (fijo) $\varepsilon_{ij}$ siguiendo alguna distribución $\mathcal{N}(0, \sigma^2_{\varepsilon})$.

Tan intuitivo como pueda parecer este modelo, me gustaría profundizar un nivel más y comprender cómo se deriva este modelo, en lugar de simplemente memorizar la ecuación.

Pregunta: ¿Alguien puede referirme a una fuente que derive esta ecuación para el RCBD y otros modelos de diseño experimental?

Editado debido a la respuesta : la razón por la que pregunto esto es porque en las respuestas del plano de Christansen a preguntas complejas (apéndice G), deriva la ecuación de muestreo aleatorio simple$y_i = \mu + e_i$, la ecuación de diseño completamente al azar $y_{ij} = \mu_i + e_{ij}$ y la ecuación de diseño de bloques completos al azar $y_{ij} = \alpha_i + \beta_j + e_{ij}$como "buenas aproximaciones a los modelos más apropiados basados ​​en la teoría de la aleatorización". Anteriormente, afirma

[S] tatistics ha designado tradicionalmente la teoría de la aleatorización como un área de estadística no paramétrica. La teoría de la aleatorización también es de especial interés en la teoría del diseño experimental porque la aleatorización se ha utilizado para justificar el análisis de experimentos diseñados.

Entonces, supongo que lo que realmente estoy pidiendo es un libro sobre teoría de la aleatorización que cubra las derivaciones de estas y ecuaciones similares, en relación con el diseño experimental.

Ejemplo de tal prueba (tomado de Christiansen): suponga observaciones$y_i$se seleccionan al azar (sin reemplazo) de una población finita más grande (suposición de muestra aleatoria simple hecha de la teoría de la aleatorización). Supongamos que los elementos de la población son$s_1, \dots, s_N$. Podemos definir variables aleatorias de muestreo elemental para$i = 1, \dots, n$ y $j = 1, \dots, N$:

$$\delta^{i}_j = \begin{cases} 1, & y_i = s_j \\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases}$$ Usando muestreo aleatorio simple sin reemplazo, $$\mathbb{E}[\delta^{i}_j] = \mathbb{P}(\delta^{i}_j = 1) = \dfrac{1}{N}$$ $$\mathbb{E}[\delta^{i}_j\delta^{i^{\prime}}_{j^{\prime}}] = \mathbb{P}(\delta^{i}_j\delta^{i^{\prime}}_{j^{\prime}} = 1) = \begin{cases} 1/N & (i, j) = (i^{\prime}, j^{\prime}) \\ 1/[N(N-1)] & i \neq i^{\prime}, j \neq j^{\prime} \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$ Si escribimos $\mu = \sum_{j=1}^{N}s_j / N$ y $\sigma^2 = \sum_{j=1}^{N}(s_j - \mu)^2/N$, entonces $$y_i = \sum_{j=1}^{N}\delta^{i}_js_j = \mu+\sum_{j=1}^{N}\delta^{i}_{j}(s_j - \mu)$$ Dejando $e_i = \sum_{j=1}^{N}\delta^{i}_{j}(s_j - \mu)$ da el modelo lineal $$y_i = \mu + e_i\text{.}$$

Estás pidiendo una derivación, pero diría que esta fórmula no es derivable. Se destaca como una codificación matemática del mundo exterior. A las matemáticas no les importa lo que es un "bloque", pero a ti sí. Y si cree que puede modelarse como una fuente de variación aditiva, entonces probablemente terminará con el modelo lineal que propuso anteriormente. Pero los bloques podrían interactuar con los tratamientos, por ejemplo, y luego el modelo que propuso anteriormente estaría equivocado. No se puede derivar cuál es el modelo "correcto" para el mundo.

Usted solicitó referencias, y quizás un buen lugar para buscar serían algunos de los escritos de RA Fisher sobre diseño experimental como El diseño de experimentos (1960) . Ni siquiera menciona el modelo lineal, y en su lugar se centra en dividir la varianza a través de un Análisis de varianza. Tengo curiosidad por saber si Fisher incluso pensó en términos de un modelo lineal en el momento en que estaba dividiendo la varianza de esta manera, y quizás lo más parecido a una derivación sería mostrar la equivalencia del Análisis clásico de varianza y el lineal modelo, si tomas lo primero como evidente.