¿Cómo calcular el valor esperado de una distribución normal estándar?

Me gustaría aprender a calcular el valor esperado de una variable aleatoria continua. Parece que el valor esperado es donde es la función de densidad de probabilidad de .f ( x )

$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\mathrm{d}x$$ $f(x)$$X$

Suponga que la función de densidad de probabilidad de  es que es la densidad del distribución normal estándarf ( x ) = $X$

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}$$

Entonces, primero enchufaría el PDF y obtendría que es una ecuación de aspecto bastante desordenado. La constante se puede mover fuera de la integral, dando

$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x$$ E[X]=$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ $$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x.$$

Me quedo atrapado aquí. ¿Cómo calculo integral? ¿Estoy haciendo esto correctamente hasta aquí? ¿Es la forma más sencilla de obtener el valor esperado?

Ya casi estás allí, sigue tu último paso:

$$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\displaystyle\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}d(-\frac{x^2}{2})\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\mid_{-\infty}^{\infty}\\=0$$ .

O puede usar directamente el hecho de que es una función extraña y los límites de la integral son simetría.$xe^{-x^2/2}$

Dado que desea aprender métodos para calcular las expectativas y desea conocer algunas formas simples, disfrutará utilizando la función de generación de momentos (mgf)

$$\phi(t) = E[e^{tX}].$$

El método funciona especialmente bien cuando la función de distribución o su densidad se dan como exponenciales. En este caso, no tiene que hacer ninguna integración después de observar

$$t^2/2 -\left(x - t\right)^2/2 = t^2/2 + (-x^2/2 + tx - t^2/2) = -x^2/2 + tx,$$

porque, al escribir la función de densidad normal estándar en como (para una constante cuyo valor no necesitará saber), esto le permite reescribir su mgf como$x$$C e^{-x^2/2}$$C$

$$\phi(t) = C\int_\mathbb{R} e^{tx} e^{-x^2/2} dx = C\int_\mathbb{R} e^{-x^2/2 + tx} dx = e^{t^2/2}C\int_\mathbb{R} e^{-(x-t)^2/2} dx .$$

En el lado derecho, siguiendo el término , reconocerá la integral de la probabilidad total de una distribución Normal con media y varianza unitaria, que por lo tanto es . Por consiguiente$e^{t^2/2}$$t$$1$

$$\phi(t) = e^{t^2/2}.$$

Debido a que la densidad Normal se vuelve pequeña a valores grandes tan rápidamente, no hay problemas de convergencia independientemente del valor de . es reconociblemente analítico en , lo que significa que es igual a su serie MacLaurin$t$$\phi$$0$

$$\phi(t) = e^{t^2/2} = 1 + (t^2/2) + \frac{1}{2} \left(t^2/2\right)^2 + \cdots + \frac{1}{k!}\left(t^2/2\right)^k + \cdots.$$

Sin embargo, dado que converge absolutamente para todos los valores de , también podemos escribir$e^{tX}$$tX$

$$E[e^{tX}] = E\left[1 + tX + \frac{1}{2}(tX)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}(tX)^n + \cdots\right] \\ = 1 + E[X]t + \frac{1}{2}E[X^2]t^2 + \cdots + \frac{1}{n!}E[X^n]t^n + \cdots.$$

Dos series de potencia convergentes pueden ser iguales solo si son iguales término por término, de ahí (comparando los términos que involucran )$t^{2k} = t^n$

$$\frac{1}{(2k)!}E[X^{2k}]t^{2k} = \frac{1}{k!}(t^2/2)^k = \frac{1}{2^kk!} t^{2k},$$

Insinuando

$$E[X^{2k}] = \frac{(2k)!}{2^kk!},\ k = 0, 1, 2, \ldots$$

(y todas las expectativas de potencias extrañas de son cero). Prácticamente sin esfuerzo, ha obtenido las expectativas de todos los poderes integrales positivos de a la vez.$X$$X$

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Las variaciones de esta técnica pueden funcionar igual de bien en algunos casos, como , siempre que el rango de esté adecuadamente limitado. Los mgf (y su pariente cercano, la función característica ) son tan útiles en general, que los encontrará en tablas de propiedades de distribución, como en la entrada de Wikipedia en la distribución Normal .X E [ e i t X$E[1/(1-tX)] = E[1 + tX + (tX)^2 + \cdots + (tX)^n + \cdots]$$X$ $E[e^{itX}]$