Derive P (C | A + B) de las dos reglas de Cox

Estoy trabajando a mi manera (autoestudio) a través del libro de ET Jaynes Probability Theory - The Logic of Science

Problema original

El ejercicio 2.1 dice: "¿Es posible encontrar una fórmula general para análoga a [la fórmula ] de las reglas de producto y suma. Si es así, deduzca; si no, explique por qué esto no se puede hacer ".$p(C|A+B)$$p(A+B|C)=p(A|C)+p(B|C)-p(AB|C)$

Datos

Las reglas con las que tengo que trabajar son:

$p(AB | C) = p(A|C)p(B|AC) = p(B|C)p(A|BC)$ y$p(A|B)+p(\bar{A}|B)=1$

Donde también podemos usar identidades lógicas para manipular proposiciones. Por ejemplo:$A+B=\overline{\bar{A}\bar{B}}$

Asunción de Solubilidad

Creo que debe ser posible porque no introduce ninguna otra regla más adelante y tener una combinación lógica simple de proposiciones que no fuera fácilmente expresable derrotaría la tesis central de Jaynes. Sin embargo, no he podido derivar la regla.

Mi intento

Para evitar confundirme debido al uso de los mismos nombres de variables que los datos, estoy resolviendo el problema como:

Derivar una fórmula para$p(X|Y+Z)$

Introduciendo una tautología para el acondicionamiento

Mi mejor intento para resolverlo hasta ahora ha sido introducir una propuesta que siempre es cierta. Por lo tanto, puedo reescribir como (ya que la verdad es la identidad multiplicativa).$W$$Y+Z$$(Y+Z)W$

Entonces, puedo escribir:

$p(X|Y+Z)=p(X|(Y+Z)W)$

Entonces, reescribiendo uno de los dados como la regla de Bayes: , puedo escribir:$p(A|BC)=\frac{p(B|AC)p(A|C)}{p(B|C)}$

$p(X|(Y+Z)W)=\frac{p(Y+Z|XW)p(X|W)}{p(Y+Z|W)}=\frac{p(Y+Z|X)p(X|W)}{p(Y+Z|W)}$

¿Por qué esto no funciona?

El término es fácil de manejar. (Su expansión se menciona en la definición del problema).$p(Y+Z|X)$

Sin embargo, no sé qué hacer con y . No hay una transformación lógica que pueda aplicar para deshacerme de la , ni puedo pensar en ninguna forma de aplicar las reglas dadas para llegar allí.$p(X|W)$$p(Y+Z|W)$$W$

Otros lugares que he buscado

Hice una búsqueda en Google, que apareció en esta página del foro . Pero el autor hace lo mismo que intenté sin ver la dificultad que tengo con el condicionamiento resultante en la tautología introducida.

También busqué stats.stackexchange.com para "Jaynes" y también para "Ejercicio 2.1" sin encontrar ningún resultado útil.

No estoy seguro de lo que Jaynes considera análogo a pero los estudiantes han usado alegremente uno o más de los siguientes en tareas y exámenes: ¿Crees que alguno de estos es correcto?$P(A\cup B \mid C) = P(A \mid C) + P(B \mid C) - P(AB \mid C)$

Nota: Cambiando mi comentario (ahora eliminado) en un apéndice a mi respuesta, las reglas permiten las siguientes manipulaciones: La primera presenta acondicionado en un subconjunto de pero no elimina acondicionado en . El segundo también no elimina acondicionado en . Por lo tanto, cualquier manipulación de siempre incluirá términos de la forma , y no puede expresarse en términos de , , , etc. sin incluir las probabilidades condicionadas por$P(AB \mid C) = P(A\mid C)P(B \mid AC); P(A \mid C) = 1 - P(A^c \mid C).$$C$$C$$C$$P(A\mid B \cup C)$$P(X\mid B \cup C)$$P(A\mid B \cup C)$$P(A \mid B)$$P(A \mid C)$$P(A \mid BC)$$B \cup C$ también.

Para problemas como este, a veces es útil pensar menos sobre las fórmulas y, en su lugar, hacer un dibujo (en este caso, un diagrama de Venn).

Ahora mira la imagen e intenta visualizar qué $P(C | A \cup B)$representa. Si puede sacarlo de la imagen, verá que hay varias formas válidas de escribirlo (dos maneras saltan a mi mente desde el principio). Si todavía está atascado, intente volver a la prueba habitual de la regla de adición general ordinaria para obtener sugerencias.

Recuerde: una probabilidad condicional concentra toda su masa de probabilidad en el evento de condicionamiento (en este caso, ). La idea es centrarse en los lugares donde cruza con ese evento.$A \cup B$$C$

Por cierto, el código R para la figura es

library(venneuler)
vd <- venneuler(c(A=0.2, B=0.2, C=0.2, "A&B"=0.04, "A&C"=0.04, "B&C"=0.04 ,"A&B&C"=0.008))
plot(vd)

El teorema de Bayes da

No puedes deshacerte de la tautología. Creo que se supone que solo debe agregar la tautología y aplicar la regla del producto y luego la regla de la suma y obtendrá:

donde todas las probabilidades se expresan como posteriores a la tautología. Creo que este es el equivalente más similar a la regla de suma que puede obtener para este problema, por lo que esa sería la solución.

Tenga en cuenta que si agrega la condición $p(AB|W)=0$ (es decir $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes) obtiene la misma expresión que debe probar en el problema 2.2, lo que indicaría que esta solución es probablemente la correcta (por inducción bayesiana;).

Siguiendo solo las reglas de Cox, tomando $W=X$ Como en el libro de Jaynes, tenemos la solución de MastermindX:

La solución para Ex. 2.1 sigue la intención del Capítulo 2 en la regla del producto, que "primero buscamos una regla consistente que relacione la plausibilidad del producto lógico$AB$ a la plausibilidad de $A$ y $B$ por separado "(página 24). Además, para proposiciones mutuamente excluyentes $A$ y $B$, esto es igual a la ecuación. (2.67) en Ej. 2.2, si tomamos$\{A_{1} = A$, $A_{2} = B\}$; también indicado por MastermindX. Tenga en cuenta que el propio Jaynes no se deshace de la información adicional$X$en la ecuación (2.67), así que creo que esta es la solución esperada para ambos ejercicios.