Generando variables aleatorias binomiales con correlación dada

Supongamos que sé cómo generar variables aleatorias binomiales independientes. ¿Cómo puedo generar dos variables aleatorias? $X$ y $Y$ tal que
$X \sim Bin (8, \frac{2}{3}), Y \sim Bin (18, \frac{2}{3}) and Corr (X, Y) = 0.5$ $X\sim \text{Bin}(8,\dfrac{2}{3}),\quad Y\sim \text{Bin}(18,\dfrac{2}{3})\ \text{ and }\ \text{Corr}(X,Y)=0.5$

Pensé en tratar de usar el hecho de que $X$ y $Y-\rho X$ son independientes donde $\rho=Corr(X,Y)$ pero no creo que $X-\rho Y$ está distribuido binomialmente, así que no puedo usar este método. Si esto hubiera funcionado, habría generado dos variables aleatorias binomiales, digamos $A$ y $B$ , luego establecer $X=A$ y $Y-\rho X=B$ es decir $Y=B+\rho A$ y por lo tanto habría conseguido el par $(X,Y)$ . Pero no puedo hacer esto como $Y-\rho X$ no está distribuido binomialmente.

Cualquier sugerencia será apreciada sobre cómo proceder.

self-study correlation multivariate-analysis binomial simulation Landon Carter
fuente

En realidad, este problema se produjo en un examen semestral, por lo que no es tarea, pero supongo que puede llamarse autoestudio. Se agregó la etiqueta.

Landon Carter

No puede usar la representación lineal de la correlación en distribuciones de soporte discretas.

En el caso especial de la distribución binomial, la representación

X = \sum_{i = 1}^{8} δ_{i} Y = \sum_{i = 1}^{18} γ_{i} δ_{i}, γ_{i} \sim B (1, 2 / 3)

$X=\sum_{i=1}^8 \delta_i\quad Y=\sum_{i=1}^{18} \gamma_i\quad \delta_i,\gamma_i\sim \text{B}(1,2/3)$ puede ser explotado desde

cov (X, Y) = \sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} cov (δ_{i}, γ_{j})

$\text{cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\text{cov}(\delta_i,\gamma_j)$ Si elegimos algunos de los

δ_{i}

$\delta_i$ es igual a algunos de los

γ_{j}

$\gamma_j$ 's, y generados independientemente de lo contrario, obtenemos

cov (X, Y) = \sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} I (δ_{i} := γ_{j}) var (γ_{j})

$\text{cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)\text{var}(\gamma_j)$ donde la notación

I (δ_{i} := γ_{j})

$\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)$ indica que

δ_{i}

$\delta_i$ se elige idéntico a

γ_{j}

$\gamma_j$ en lugar de generarse como un Bernoulli

B (1, 2 / 3)

$\text{B}(1,2/3)$ .

Como la restricción es

cov (X, Y) = 0.5 \times \sqrt{8 \times 18} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}

$\text{cov}(X,Y)=0.5\times\sqrt{8\times 18}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}$ tenemos que resolver

\sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} I (δ_{i} := γ_{j}) = 0.5 \times \sqrt{8 \times 18} = 6

$\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)=0.5\times\sqrt{8\times 18}=6$ Esto significa que si elegimos 6 de los 8

δ_{i}

$\delta_i$ es igual a 6 de los 18

γ_{j}

$\gamma_j$ Deberíamos obtener esta correlación de 0.5.

La implementación es la siguiente:

Generar $Z\sim\text{B}(6,2/3)$ , $Y_1\sim\text{B}(12,2/3)$ , $X_1\sim\text{B}(2,2/3)$ ;
Toma $X=Z+Z_1$ y $Y=Z+Y_1$

Podemos verificar este resultado con una simulación R

> z=rbinom(10^8,6,.66)
> y=z+rbinom(10^8,12,.66)
> x=z+rbinom(10^8,2,.66)
cor(x,y)
> cor(x,y)
[1] 0.5000539

Comentario

Esta es una solución bastante artificial al problema, ya que solo funciona porque $8\times 18$ es un cuadrado perfecto y porque $\text{cor}(X,Y)\times\sqrt{8\times 18}$ es un entero Para otras correlaciones aceptables, la aleatorización sería necesaria, es decir $\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)$ sería cero o uno con alguna probabilidad $\varrho$ .

Apéndice

El problema fue propuesto y resuelto hace años en Stack Overflow con la misma idea de compartir Bernoullis.

Xi'an
fuente

+1. No necesitas eso

8 \times 18

$8\times 18$ ser un cuadrado Las condiciones para Cor

(X, Y) = ρ

$(X,Y)=\rho$ tener una solución (a través de este método) para

X \sim

$X\sim$ Binomio

(n, p)

$(n,p)$ y

Y \sim

$Y\sim$ Binomio

(m, q)

$(m,q)$ son (1)

p = q

$p=q$ y 2)

0 \leq ρ \sqrt{m n} \leq min (m, n)

$0\le \rho\sqrt{mn}\le \min(m,n)$ es un entero Por cierto negativo

ρ

$\rho$ , el uso de una distribución multinomial da una solución. Un enfoque más general, pero más difícil, usaría cópulas.

whuber

@whuber: para la correlación negativa, primero pensé en usar

1 - γ_{j}

$1-\gamma_j$ pero obviamente no funciona. ¿Podría ampliar la solución genérica? (También pensé en cópulas, pero calibrar cópulas para alcanzar la correlación correcta es un asunto desagradable, ¿no es así ?!

Xi'an

Xi'an, me gustaría preguntarte si el método que usaste es estándar. Esto se debe a que busqué mucho en Internet y no pude encontrar nada.

Landon Carter

Estoy de acuerdo contigo, ¡no quiero trabajar con esas cópulas! Pero al menos muestran que las soluciones deberían existir (dentro de ciertos límites en

ρ

$\rho$ , dependiente de los otros parámetros) en la configuración más general. Sería interesante saber si las construcciones más simples, como la que usted da aquí, podrían aplicarse para manejar casos donde

p \neq q

$p\ne q$ o

ρ < 0

$\rho \lt 0$ . Yedaynara: el método de dividir dos variables

X, Y

$X,Y$ dentro

X^{'} + Z, Y^{'} + Z

$X^\prime+Z, Y^\prime+Z$ es estándar para cualquier familia paramétrica cerrada bajo adición; y eso es todo lo que está pasando aquí.

whuber

@yedaynara: Me sorprende que no haya podido encontrar "nada", ya que busqué en Google "simulación binomial correlacionada" y encontré inmediatamente esta publicación en Stack Overflow .

Xi'an

Generando variables aleatorias binomiales con correlación dada

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