Si son beta independientes, entonces show también es beta

Aquí hay un problema que surgió en un examen semestral en nuestra universidad hace unos años y que estoy luchando por resolver.

Si son variables aleatorias independientes con densidades y respectivamente, entonces demuestre que sigue a .$X_1,X_2$$\beta$$\beta(n_1,n_2)$$\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$$\sqrt{X_1X_2}$$\beta(2n_1,2n_2)$

Utilicé el método jacobiano para obtener que la densidad de es la siguiente: $Y=\sqrt{X_1X_2}$

$$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$$

Estoy perdido en este punto en realidad. Ahora, en el artículo principal, descubrí que se había proporcionado una pista. Traté de usar la pista pero no pude obtener las expresiones deseadas. La pista es literal de la siguiente manera:

Sugerencia: obtenga una fórmula para la densidad de en términos de las densidades dadas de y e intente usar un cambio de variable con . X1X2z= y $Y=\sqrt{X_1X_2}$$X_1$$X_2$$z=\dfrac{y^2}{x}$

Entonces, en este punto, trato de hacer uso de esta sugerencia considerando este cambio de variable. Por lo tanto, obtengo, que después de la simplificación resulta ser (escribir para z ) f_Y (y) = \ dfrac {4y ^ {2n_1}} { B (n_1, n_2) B (n_1 + \ dfrac {1} {2}, n_2)} \ int_ {y ^ 2} ^ y \ dfrac {1} {y ^ 2} (1- \ dfrac {y ^ 4} {x ^ 2}) ^ {n_2-1} (1- \ dfrac {x ^ 2} {y ^ 2}) ^ {n_2-1} dxxzfY(y)=4y2 n

$$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$$ $x$$z$ $$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$$

Realmente no sé cómo proceder. Ni siquiera estoy seguro de estar interpretando la pista correctamente. De todos modos, aquí va el resto de la pista:

Observe que al usar el cambio de la variable , la densidad requerida se puede expresar de dos maneras para obtener promediando Ahora divida el rango de integración en y y escriba y continúe con . fY(y)=constant. y2n1-1∫ 1 y 2 (1-y$z=\dfrac{y^2}{x}$

$$f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$$ $(y^2,y)$$(y,1)$$(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$$u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$

Bueno, sinceramente, no puedo entender cómo se pueden usar estas sugerencias: parece que no estoy llegando a ninguna parte. La ayuda es apreciada. Gracias por adelantado.

Probaría esto de una manera diferente, usando funciones generadoras de momentos. O lo que es equivalente, al mostrar que la ª momento de es igual a la ª momento de una variable aleatoria con distribución. Si esto es así para todos , entonces, por la fuerza del problema del momento, el ejercicio está probado.$q$$\sqrt{X_1X_2}$$q$$B$$\beta(2n_1,2n_2)$$q=1,2,\ldots$

Para la última parte, se obtiene a partir http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments que el ª momento de es Ahora para la primera parte: $q$$B$

$$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$$ $$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$$ Ahora todo lo que queda es aplicar la definición y luego la fórmula de duplicación . Luego resulta que la primera parte y la segunda parte son exactamente iguales. Γ(α)Γ(α+$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$