Núcleo de transición de Gibbs Sampler

Deje que sea ​​la distribución objetivo en que es absolutamente continua wrt a la medida dimensional de Lebesgue, es decir:$\pi$$(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R^d}))$$d$

$\pi$ admite una densidad wrt a con $\pi(x_1,...,x_d)$$\lambda^d$

$$\lambda^d(dx_1,...,dx_d) = \lambda(dx_1) \cdot \cdot \cdot \lambda (dx_d)$$

Supongamos que se condicionales completos de . Entonces, el núcleo de transición del Gibbs-Sampler es claramente el producto de los condicionales completos de .$\pi_i(x_i|x_{-i})$$\pi$$\pi$

¿El núcleo de transición es absolutamente continuo wrt a la medida dimensional de Lebesgue también?$d$

Si escribe la transición del núcleo de muestreo sistemático de Gibbs, obtendrá para cualquier conjunto de productos y, por lo tanto, es la densidad de un medida de probabilidad que es absolutamente continua contra la medida de Lebesgue en .

$$\mathbb{P}(X'\in A_1\times\cdots\times A_d|X=x)=\int_{A_1} \pi_1(x'_1|x_{-1})\Big\{\int_{A_2} \pi_2(x'_2|x'_1,x_{-1:2})\cdots \left\{\int_{A_d} \pi_d(x'_1|x_{-d}')\lambda(\text{d}x_d')\right\} \cdots\lambda(\text{d}x_2')\Big\}\lambda(\text{d}x_1')$$ $A_1\times\cdots\times A_d\in\mathcal{B}(\mathbb{R^d})$ $$K(x,x')=\pi_1(x'_1|x_{-1})\times\pi_2(x'_2|x'_1,x_{-1:2})\times\cdots\times\pi_d(x'_d|x_{-d}')$$ $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R^d}))$